习题1-10

1．假设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[0,1]$ 上连续，并且对 $[0,1]$ 上任一点 $x$ 有 $0 \leqslant f(x) \leqslant 1$ ．试证明 $[0,1]$ 中必存在一点 $c$ ，使得 $f(c)=c$（ $c$ 称为函数 $f(x)$ 的不动点）．

2．证明方程 $x^{5}-3 x=1$ 至少有一个根介于 1 和 2 之间．

3．证明方程 $x=a \sin x+b$ ，其中 $a\gt 0, b\gt 0$ ，至少有一个正根，并且它不超过 $a+b$ ．

4．证明任一最高次幂的指数为奇数的代数方程 $$ a_{0} x^{2 n+1}+a_{1} x^{2 n}+\cdots+a_{2 n} x+a_{2 n+1}=0 $$ 至少有一个实根，其中 $a_{0}, a_{1}, \cdots, a_{2 n+1}$ 均为常数，$n \in \mathbf{N}$ ．

5．证明：方程 $x^{3}+2 x^{2}-4 x-1=0$ 有三个实根．

6．若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，$a\lt x_{1}\lt x_{2}\lt \cdots\lt x_{n}\lt b(n \geqslant 3)$ ，证明：在 $\left(x_{1}, x_{n}\right)$ 内至少有一点 $\xi$ ，使 $f(\xi)=\frac{f\left(x_{1}\right)+f\left(x_{2}\right)+\cdots+f\left(x_{n}\right)}{n}$.

＊7．设函数 $f(x)$ 对于闭区间 $[a, b]$ 上的任意两点 $x, y$ ，恒有 $|f(x)-f(y)| \leqslant L|x-y|$ ，其中 $L$ 为正常数，且 $f(a) \cdot f(b)\lt 0$ ．证明：至少有一点 $\xi \in(a, b)$ ，使得 $f(\xi)=0$ ．

＊8．证明：若 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续，且 $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \infty} f(x)$ 存在，则 $f(x)$ 必在 $(-\infty,+\infty)$ 内有界．

＊9．在什么条件下，$(a, b)$ 内的连续函数 $f(x)$ 为一致连续？