习题1-2

1．下列各题中，哪些数列收敛，哪些数列发散？对收敛数列，通过观察 $\left\{x_{n}\right\}$ 的变化趋势，写出它们的极限： （1）$\left\{\frac{1}{2^{n}}\right\}$ ； （2）$\left\{(-1)^{n} \frac{1}{n}\right\}$ ； （3）$\left\{2+\frac{1}{n^{2}}\right\}$ ； （4）$\left\{\frac{n-1}{n+1}\right\}$ ； （5）$\left\{n(-1)^{n}\right\}$ ； （6）$\left\{\frac{2^{n}-1}{3^{n}}\right\}$ ； （7）$\left\{n-\frac{1}{n}\right\}$ ； （8）$\left\{\left[(-1)^{n}+1\right] \frac{n+1}{n}\right\}$ ．

2．（1）数列的有界性是数列收敛的什么条件？ （2）无界数列是否一定发散？ （3）有界数列是否一定收敛？

3．下列关于数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 的极限是 $a$ 的定义，哪些是对的，哪些是错的？如果是对的，试说明理由；如果是错的，试给出一个反例． （1）对于任意给定的 $\varepsilon\gt 0$ ，存在 $N \in \mathbf{N}_{+}$，当 $n\gt N$ 时，不等式 $x_{n}-a\lt \varepsilon$ 成立； （2）对于任意给定的 $\varepsilon\gt 0$ ，存在 $N \in \mathbf{N}_{+}$，当 $n\gt N$ 时，有无穷多项 $x_{n}$ ，使不等式 $\left|x_{n}-a\right|\lt \varepsilon$ 成立； （3）对于任意给定的 $\varepsilon\gt 0$ ，存在 $N \in \mathbf{N}_{+}$，当 $n\gt N$ 时，不等式 $\left|x_{n}-a\right|\lt c \varepsilon$ 成立，其中 $c$ 为某个正常数； （4）对于任意给定的 $m \in \mathbf{N}_{+}$，存在 $N \in \mathbf{N}_{+}$，当 $n\gt N$ 时，不等式 $\left|x_{n}-a\right|\lt \frac{1}{m}$ 成立．

＊4．设数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 的一般项 $x_{n}=\frac{1}{n} \cos \frac{n \pi}{2}$ ．问 $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} x_{n}=$ ？求出 $N$ ，使当 $n\gt N$ 时，$x_{n}$ 与其极限之差的绝对值小于正数 $\varepsilon$ ．当 $\varepsilon=0.001$ 时，求出数 $N$ ．

＊5．根据数列极限的定义证明： （1） $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{2}}=0$ ； （2） $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} \frac{3 n+1}{2 n+1}=\frac{3}{2}$ ； （3） $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{n^{2}+a^{2}}}{n}=1$ ； （4） $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} 0 . \underbrace{999 \cdots 9}_{n \uparrow}=1$ ．

＊6．若 $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} u_{n}=a$ ，证明 $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty}\left|u_{n}\right|=|a|$ ．并举例说明：即使数列 $\left\{\left|x_{n}\right|\right\}$ 有极限，数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 也未必有极限．

＊7．设数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 有界，又 $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} y_{n}=0$ ，证明 $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} x_{n} y_{n}=0$ ．

＊8．对于数列 $\left\{x_{n}\right\}$ ，若 $x_{2 k-1} \rightarrow a(k \rightarrow \infty), x_{2 k} \rightarrow a(k \rightarrow \infty)$ ，证明 $x_{n} \rightarrow a(n \rightarrow \infty)$ ．