习题1-3

1．对图 1－26 所示的函数 $y=f(x)$ ，求下列极限，如极限不存在，说明理由． （1） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow-2} f(x)$ ； （2） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow-1} f(x)$ ； （3） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} f(x)$ ．

2．对图 1－27 所示的函数 $y=f(x)$ ，下列陈述中哪些是对的，哪些是错的？ （1） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} f(x)$ 不存在； （2） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} f(x)=0$ ； （3） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} f(x)=1$ ； （4） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 1} f(x)=0$ ； （5） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 1} f(x)$ 不存在； （6）对每个 $x_{0} \in(-1,1), \displaystyle{\lim} _{x \rightarrow x_{0}} f(x)$ 存在．

3．对图 1－28 所示的函数 $y=f(x)$ ，下列陈述中哪些是对的，哪些是错的？ （1） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow-1^{+}} f(x)=1$ ； （2） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow-1^{-}} f(x)$ 不存在； （3） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} f(x)=0$ ； （4） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} f(x)=1$ ； （5） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 1^{-}} f(x)=1$ ； （6） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 1^{+}} f(x)=0$ ； （7） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 2^{-}} f(x)=0$ ； （8） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 2} f(x)=0$ ． <img src="/static/img/textbook/40464fca5d6d.jpg" style="max-width:100%;height:auto;"> <img src="/static/img/textbook/a486dde0ce26.jpg" style="max-width:100%;height:auto;"> <img src="/static/img/textbook/09167b75d1af.jpg" style="max-width:100%;height:auto;">

4．求 $f(x)=\frac{x}{x}, \varphi(x)=\frac{|x|}{x}$ 当 $x \rightarrow 0$ 时的左、右极限，并说明它们在 $x \rightarrow 0$ 时的极限是否存在．

＊11．根据函数极限的定义证明：函数 $f(x)$ 当 $x \rightarrow x_{0}$ 时极限存在的充分必要条件是左、右极限各自存在并且相等。

＊12．试给出 $x \rightarrow \infty$ 时函数极限的局部有界性的定理，并加以证明．

＊5．根据函数极限的定义证明： （1） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 3}(3 x-1)=8$ ； （2） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 2}(5 x+2)=12$ ； （3） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow-2} \frac{x^{2}-4}{x+2}=-4$ ； （4） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow-\frac{1}{2}} \frac{1-4 x^{2}}{2 x+1}=2$ ．

＊6．根据函数极限的定义证明： （1） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \infty} \frac{1+x^{3}}{2 x^{3}}=\frac{1}{2}$ ； （2） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow+\infty} \frac{\sin x}{\sqrt{x}}=0$ ．

＊7．当 $x \rightarrow 2$ 时，$y=x^{2} \rightarrow 4$ ．问 $\delta$ 等于多少，使当 $|x-2|\lt \delta$ 时，$|y-4|\lt 0.001$ ？

＊8．当 $x \rightarrow \infty$ 时，$y=\frac{x^{2}-1}{x^{2}+3} \rightarrow 1$ ．问 $X$ 等于多少，使当 $|x|\gt X$ 时，$|y-1|\lt 0.01$ ？

＊9．证明函数 $f(x)=|x|$ 当 $x \rightarrow 0$ 时极限为零． ${ }^{*}$ 10．证明：若 $x \rightarrow+\infty$ 及 $x \rightarrow-\infty$ 时，函数 $f(x)$ 的极限都存在且都等于 $A$ ，则 $$ \displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \infty} f(x)=A $$