习题1-4

1．两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明之．

4．求下列极限并说明理由： （1） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \infty} \frac{2 x+1}{x}$ ； （2） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{1-x^{2}}{1-x}$ ．

5．根据函数极限或无穷大定义，填写下表： \begin{tabular}{|l|l|l|l|l|} \hline & $f(x) \rightarrow A$ & $f(x) \rightarrow \infty$ & $f(x) \rightarrow+\infty$ & $f(x) \rightarrow-\infty$ \\ \hline $x \rightarrow x_{0}$ & $\forall \varepsilon\gt 0$ ， $\exists \delta\gt 0$ ，使当 $0\lt \left|x-x_{0}\right|\lt \delta$ 时，即有 $|f(x)-A|\lt \varepsilon$ & & & \\ \hline $x \rightarrow x_{0}^{+}$ & & & & \\ \hline $x \rightarrow x_{0}^{-}$ & & & & \\ \hline $x \rightarrow \infty$ & & $\forall M\gt 0$ ， $\exists X\gt 0$ ，使当 $|x|\gt X$ 时，即有 $|f(x)|\gt M$ & & \\ \hline $x \rightarrow+\infty$ & & & & \\ \hline $x \rightarrow-\infty$ & & & & \\ \hline \end{tabular}

6．函数 $y=x \cos x$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内是否有界？这个函数是不是 $x \rightarrow+\infty$ 时的无穷大？为什么？

8．求函数 $f(x)=\frac{4}{2-x^{2}}$ 的图形的渐近线．

＊2．根据定义证明： （1）$y=\frac{x^{2}-9}{x+3}$ 为当 $x \rightarrow 3$ 时的无穷小； （2）$y=x \sin \frac{1}{x}$ 为当 $x \rightarrow 0$ 时的无穷小．

＊3．根据定义证明：$y=\frac{1+2 x}{x}$ 为当 $x \rightarrow 0$ 时的无穷大．问 $x$ 应满足什么条件，能使 $|y|\gt 10^{4}$ ？

＊7．证明：函数 $y=\frac{1}{x} \sin \frac{1}{x}$ 在区间 $(0,1]$ 内无界，但这个函数不是 $x \rightarrow 0^{+}$时的无穷大．