习题1-5

1．计算下列极限： （1） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 2} \frac{x^{2}+5}{x-3}$ ； （2） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \sqrt{3}} \frac{x^{2}-3}{x^{2}+1}$ ； （3） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 1} \frac{x^{2}-2 x+1}{x^{2}-1}$ ； （4） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{4 x^{3}-2 x^{2}+x}{3 x^{2}+2 x}$ ； （5） $\displaystyle{\lim} _{h \rightarrow 0} \frac{(x+h)^{2}-x^{2}}{h}$ ； （6） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \infty}\left(2-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}\right)$ ； （7） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \infty} \frac{x^{2}-1}{2 x^{2}-x-1}$ ； （8） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \infty} \frac{x^{2}+x}{x^{4}-3 x^{2}+1}$ ； （9） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 4} \frac{x^{2}-6 x+8}{x^{2}-5 x+4}$ ； （10） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)\left(2-\frac{1}{x^{2}}\right)$ ； （11） $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{2^{n}}\right)$ ； （12） $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} \frac{1+2+3+\cdots+(n-1)}{n^{2}}$ ； （13） $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} \frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{5 n^{3}}$ ； （14） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 1}\left(\frac{1}{1-x}-\frac{3}{1-x^{3}}\right)$ ．

2．计算下列极限： （1） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 2} \frac{x^{3}+2 x^{2}}{(x-2)^{2}}$ ； （2） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \infty} \frac{x^{2}}{2 x+1}$ ； （3） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \infty}\left(2 x^{3}-x+1\right)$ ．

3．计算下列极限： （1） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} x^{2} \sin \frac{1}{x}$ ； （2） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \infty} \frac{\arctan x}{x}$ ．

4．设 $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\},\left\{c_{n}\right\}$ 均为非负数列，且 $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0, \displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} b_{n}=1, \displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} c_{n}=\infty$ ．下列陈述中哪些是对的，哪些是错的？如果是对的，说明理由；如果是错的，试给出一个反例． （1）$a_{n}\lt b_{n}, n \in \mathbf{N}_{+}$； （2）$b_{n}\lt c_{n}, n \in \mathbf{N}_{+}$； （3） $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} a_{n} c_{n}$ 不存在； （4） $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} b_{n} c_{n}$ 不存在．

5．下列陈述中，哪些是对的，哪些是错的？如果是对的，说明理由；如果是错的，试给出一个反例． （1）如果 $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow x_{0}} f(x)$ 存在，但 $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow x_{0}} g(x)$ 不存在，那么 $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow x_{0}}[f(x)+g(x)]$ 不存在； （2）如果 $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow x_{0}} f(x)$ 和 $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow x_{0}} g(x)$ 都不存在，那么 $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow x_{0}}[f(x)+g(x)]$ 不存在； （3）如果 $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow x_{0}} f(x)$ 存在，但 $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow x_{0}} g(x)$ 不存在，那么 $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow x_{0}}[f(x) \cdot g(x)]$ 不存在； （4）如果 $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow x_{0}} f(x)$ 和 $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow x_{0}} g(x)$ 都不存在，那么 $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow x_{0}}[f(x) \cdot g(x)]$ 不存在．

6．设有收敛数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 和 $\left\{y_{n}\right\}$ ，若从某项起，有 $$ x_{n} \geqslant y_{n} \quad\left(n \geqslant N, N \in \mathbf{N}_{+}\right), $$ 且 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=A, \lim _{n \rightarrow \infty} y_{n}=B$ ，证明：$A \geqslant B$ ．

＊7．证明本节定理 3 中的（2）．