习题1-6

1．计算下列极限： （1） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{\sin \omega x}{x}$ ； （2） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{\tan 3 x}{x}$ ； （3） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 2 x}{\sin 5 x}$ ； （4） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} x \cot x$ ； （5） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos 2 x}{x \sin x}$ ； （6） $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} 2^{n} \sin \frac{x}{2^{n}}$（ $x$ 为不等于零的常数，$n \in \mathbf{N}_{+}$）．

2．计算下列极限： （1） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0}(1-x)^{\frac{1}{x}}$ ； （2） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0}(1+2 x)^{\frac{1}{x}}$ ； （3） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{1+x}{x}\right)^{2 x}$ ； （4） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{x}\right)^{k x}$（ $k$ 为正整数）．

4．利用极限存在准则证明： （1） $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} \sqrt{1+\frac{1}{n}}=1$ ； （2） $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} n\left(\frac{1}{n^{2}+\pi}+\frac{1}{n^{2}+2 \pi}+\cdots+\frac{1}{n^{2}+n \pi}\right)=1$ ； （3） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \sqrt[n]{1+x}=1$ ； （4） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0^{+}} x\left[\frac{1}{x}\right]=1$ ．

5．设数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 满足：$x_{1}=\sqrt{2}, x_{n+1}=\sqrt{2+x_{n}}\left(n \in \mathbf{N}_{+}\right)$．证明 $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 存在，并求此极限．

6．设数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 满足：$x_{1} \in(0, \pi), x_{n+1}=\sin x_{n}\left(n \in \mathbf{N}_{+}\right)$．证明 $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 存在，并求此极限．

＊3．根据函数极限的定义，证明极限存在的准则 $\mathrm{I}^{\prime}$ ．