习题1-7

1．当 $x \rightarrow 0$ 时， $2 x-x^{2}$ 与 $x^{2}-x^{3}$ 相比，哪一个是高阶无穷小？

2．当 $x \rightarrow 0$ 时，$(1-\cos x)^{2}$ 与 $\sin ^{2} x$ 相比，哪一个是高阶无穷小？

3．当 $x \rightarrow 1$ 时，无穷小 $1-x$ 和（1） $1-x^{3}$ ，（2）$\frac{1}{2}\left(1-x^{2}\right)$ 是否同阶，是否等价？

4．证明：当 $x \rightarrow 0$ 时，有 （1） $\arctan x \sim x$ ； （2） $\sec x-1 \sim \frac{x^{2}}{2}$ ．

5．利用等价无穷小的性质，求下列极限： （1） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{\tan 3 x}{2 x}$ ； （2） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{\sin \left(x^{n}\right)}{(\sin x)^{m}}(n, m$ 为正整数）； （3） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x-\sin x}{\sin ^{3} x}$ ； （4） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x-\tan x}{\left(\sqrt[3]{1+x^{2}}-1\right)(\sqrt{1+\sin x}-1)}$ ．

6．证明无穷小的等价关系具有下列性质： （1）$\alpha \sim \alpha$（自反性）； （2）若 $\alpha \sim \beta$ ，则 $\beta \sim \alpha$（对称性）； （3）若 $\alpha \sim \beta, \beta \sim \gamma$ ，则 $\alpha \sim \gamma$（传递性）．