习题1-7
1-7-1
📝 有解析
第1-7-1题
1.当 $x \rightarrow 0$ 时, $2 x-x^{2}$ 与 $x^{2}-x^{3}$ 相比,哪一个是高阶无穷小?
1-7-2
📝 有解析
第1-7-2题
2.当 $x \rightarrow 0$ 时,$(1-\cos x)^{2}$ 与 $\sin ^{2} x$ 相比,哪一个是高阶无穷小?
1-7-3
📝 有解析
第1-7-3题
3.当 $x \rightarrow 1$ 时,无穷小 $1-x$ 和(1) $1-x^{3}$ ,(2)$\frac{1}{2}\left(1-x^{2}\right)$ 是否同阶,是否等价?
1-7-4
📝 有解析
第1-7-4题
4.证明:当 $x \rightarrow 0$ 时,有
(1) $\arctan x \sim x$ ;
(2) $\sec x-1 \sim \frac{x^{2}}{2}$ .
1-7-5
📝 有解析
第1-7-5题
5.利用等价无穷小的性质,求下列极限:
(1) $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{\tan 3 x}{2 x}$ ;
(2) $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{\sin \left(x^{n}\right)}{(\sin x)^{m}}(n, m$ 为正整数);
(3) $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x-\sin x}{\sin ^{3} x}$ ;
(4) $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x-\tan x}{\left(\sqrt[3]{1+x^{2}}-1\right)(\sqrt{1+\sin x}-1)}$ .
1-7-6
📝 有解析
第1-7-6题
6.证明无穷小的等价关系具有下列性质:
(1)$\alpha \sim \alpha$(自反性);
(2)若 $\alpha \sim \beta$ ,则 $\beta \sim \alpha$(对称性);
(3)若 $\alpha \sim \beta, \beta \sim \gamma$ ,则 $\alpha \sim \gamma$(传递性).