习题1-8

1．设 $y=f(x)$ 的图形如图 1－39 所示，试指出 $f(x)$ 的全部间断点，并对可去间断点补充或修改函数值的定义，使它成为连续点．

2．研究下列函数的连续性，并画出函数的图形： （1）$f(x)= \begin{cases}x^{2}, & 0 \leqslant x \leqslant 1, \\ 2-x, & 1\lt x \leqslant 2 ;\end{cases}$ （2）$f(x)= \begin{cases}x, & -1 \leqslant x \leqslant 1, \\ 1, & x\lt -1 \text { 或 } x\gt 1 .\end{cases}$ <img src="/static/img/textbook/d744f195e52f.jpg" style="max-width:100%;height:auto;">

3．下列函数在指出的点处间断，说明这些间断点属于哪一类．如果是可去间断点，那么补充或改变函数的定义使它连续： （1）$y=\frac{x^{2}-1}{x^{2}-3 x+2}, x=1, x=2$ ； （2）$y=\frac{x}{\tan x}, x=k \pi, x=k \pi+\frac{\pi}{2} \quad(k=0, \pm 1, \pm 2, \cdots)$ ； （3）$y=\cos ^{2} \frac{1}{x}, x=0$ ； （4）$y=\left\{\begin{array}{ll}x-1, & x \leqslant 1, \\ 3-x, & x\gt 1,\end{array} \quad x=1\right.$.

4．讨论函数 $f(x)=\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} \frac{1-x^{2 n}}{1+x^{2 n}} x \quad\left(n \in \mathbf{N}_{+}\right)$的连续性，若有间断点，则判别其类型．

5．下列陈述中，哪些是对的，哪些是错的？如果是对的，说明理由；如果是错的，试给出一个反例． （1）如果函数 $f(x)$ 在 $a$ 连续，那么 $|f(x)|$ 也在 $a$ 连续； （2）如果函数 $|f(x)|$ 在 $a$ 连续，那么 $f(x)$ 也在 $a$ 连续．

8．设 $f(x)$ 对任意实数 $x, y$ ，有 $f(x+y)=f(x)+f(y)$ ，且 $f(x)$ 在 $x=0$ 连续，证明：$f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上连续．

＊6．证明：若函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 连续且 $f\left(x_{0}\right) \neq 0$ ，则存在 $x_{0}$ 的某一邻域 $U\left(x_{0}\right)$ ，当 $x \in U\left(x_{0}\right)$ 时， $f(x) \neq 0$ ．

＊7．设 $$ f(x)= \begin{cases}x, & x \in \mathbf{Q} \\ 0, & x \in \mathbf{R} \backslash \mathbf{Q}\end{cases} $$ 证明： （1）$f(x)$ 在 $x=0$ 连续； （2）$f(x)$ 在非零的 $x$ 处都不连续．