习题1-9

1．求函数 $f(x)=\frac{x^{3}+3 x^{2}-x-3}{x^{2}+x-6}$ 的连续区间，并求极限 $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} f(x), ~ \displaystyle{\lim} _{x \rightarrow-3} f(x)$ 及 $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 2} f(x)$ ．

2．设函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在点 $x_{0}$ 连续，证明函数 $$ \varphi(x)=\max \{f(x), g(x)\}, \quad \psi(x)=\min \{f(x), g(x)\} $$ 在点 $x_{0}$ 也连续。

3．求下列极限： （1） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \sqrt{x^{2}-2 x+5}$ ； （2） $\displaystyle{\lim} _{\alpha \rightarrow \frac{\pi}{4}}(\sin 2 \alpha)^{3}$ ； （3） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \frac{\pi}{6}} \ln (2 \cos 2 x)$ ； （4） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x+1}-1}{x}$ ； （5） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{5 x-4}-\sqrt{x}}{x-1}$ ； （6） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \alpha} \frac{\sin x-\sin \alpha}{x-\alpha}$ ； （7） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow+\infty}\left(\sqrt{x^{2}+x}-\sqrt{x^{2}-x}\right)$ ； （8） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{\left(1-\frac{1}{2} x^{2}\right)^{\frac{2}{3}}-1}{x \ln (1+x)}$ ．

4．求下列极限： （1） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \infty} \mathrm{e}^{\frac{1}{x}}$ ； （2） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \ln \frac{\sin x}{x}$ ； （3） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{\frac{x}{2}}$ ； （4） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0}\left(1+3 \tan ^{2} x\right)^{\cot ^{2} x}$ ； （5） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{3+x}{6+x}\right)^{\frac{x-1}{2}}$ ； （6） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1+\sin x}}{x \sqrt{1+\sin ^{2} x}-x}$ ； （7） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \mathrm{e}} \frac{\ln x-1}{x-\mathrm{e}}$ ； （8） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{3 x}-\mathrm{e}^{2 x}-\mathrm{e}^{x}+1}{\sqrt[3]{(1-x)(1+x)}-1}$ ； （9） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \infty} x\left(\mathrm{e}^{\frac{1}{2 x}}-1\right)$ ； （10） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 1} \frac{x^{2}-1}{x-1} \mathrm{e}^{\frac{1}{x-1}}$ ．

5．设 $f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上连续，且 $f(x) \neq 0, \varphi(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上有定义，且有间断点，则下列陈述中哪些是对的，哪些是错的？如果是对的，试说明理由；如果是错的，试给出一个反例． （1）$\varphi[f(x)]$ 必有间断点； （2）$[\varphi(x)]^{2}$ 必有间断点； （3）$f[\varphi(x)]$ 未必有间断点； （4）$\frac{\varphi(x)}{f(x)}$ 必有间断点．

6．设函数 $$ f(x)= \begin{cases}\mathrm{e}^{x}, & x\lt 0, \\ a+x, & x \geqslant 0 .\end{cases} $$ 应当怎样选择数 $a$ ，才能使得 $f(x)$ 成为在 $(-\infty,+\infty)$ 内的连续函数？