习题2-1
2-1-1
📝 有解析
第2-1-1题
1．设物体绕定轴旋转，在时间间隔 $[0, t]$ 上转过角度 $\theta$ ，从而转角 $\theta$ 是 $t$ 的函数：$\theta=\theta(t)$ ．如果旋转是匀速的，那么称 $\omega=\frac{\theta}{t}$ 为该物体旋转的角速度．如果旋转是非匀速的，应怎样确定该物体在时刻 $t_{0}$ 的角速度？
2-1-10
📝 有解析
第2-1-10题
10．已知物体的运动规律为 $s=t^{3} \mathrm{~m}$ ，求这物体在 $t=2 \mathrm{~s}$ 时的速度．
2-1-11
📝 有解析
第2-1-11题
11．试证明：
（1）若 $f(x)$ 为可导的奇函数，则 $f^{\prime}(x)$ 为偶函数；
（2）若 $f(x)$ 为可导的偶函数，则 $f^{\prime}(x)$ 为奇函数；
（3）若 $f(x)$ 为偶函数，且 $f^{\prime}(0)$ 存在，则 $f^{\prime}(0)=0$ ．
2-1-12
📝 有解析
第2-1-12题
12．求曲线 $y=\sin x$ 在具有下列横坐标的各点处切线的斜率：
$$
x=\frac{2}{3} \pi, \quad x=\pi
$$
2-1-13
📝 有解析
第2-1-13题
13．求曲线 $y=\cos x$ 上点 $\left(\frac{\pi}{3}, \frac{1}{2}\right)$ 处的切线方程和法线方程．
2-1-14
📝 有解析
第2-1-14题
14．求曲线 $y=\mathrm{e}^{x}$ 在点 $(0,1)$ 处的切线方程．
2-1-15
📝 有解析
第2-1-15题
15．在抛物线 $y=x^{2}$ 上取横坐标为 $x_{1}=1$ 及 $x_{2}=3$ 的两点，作过这两点的割线．问该抛物线上哪一点的切线平行于这条割线？
2-1-16
📝 有解析
第2-1-16题
16．讨论下列函数在 $x=0$ 处的连续性与可导性：
（1）$y=|\sin x|$ ；
（2）$y= \begin{cases}x^{2} \sin \frac{1}{x}, & x \neq 0, \\ 0, & x=0 .\end{cases}$
2-1-17
📝 有解析
第2-1-17题
17．设函数
$$
f(x)= \begin{cases}x^{2}, & x \leqslant 1 \\ a x+b, & x\gt 1\end{cases}
$$
为了使函数 $f(x)$ 在 $x=1$ 处连续且可导，$a, b$ 应取什么值？
2-1-18
📝 有解析
第2-1-18题
18．已知 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}-x, & x\lt 0, \\ x^{2}, & x \geqslant 0,\end{array}\right.$ 求 $f_{+}^{\prime}(0)$ 及 $f_{-}^{\prime}(0)$ ，又 $f^{\prime}(0)$ 是否存在？
2-1-19
📝 有解析
第2-1-19题
19．已知 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\sin x, & x\lt 0, \\ x, & x \geqslant 0,\end{array}\right.$ 求 $f^{\prime}(x)$ ．
2-1-2
📝 有解析
第2-1-2题
2．当物体的温度高于周围介质的温度时，物体就不断冷却．若物体的温度 $T$ 与时间 $t$ 的函数关系为 $T=T(t)$ ，应怎样确定该物体在时刻 $t$ 的冷却速度？
2-1-20
📝 有解析
第2-1-20题
20．证明：双曲线 $x y=a^{2}$ 上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于 $2 a^{2}$ ．
2-1-3
📝 有解析
第2-1-3题
3．设某工厂生产 $x$ 件产品的成本为
$$
C(x)=2000+100 x-0.1 x^{2}(\text { 元 }),
$$
这函数 $C(x)$ 称为成本函数，成本函数 $C(x)$ 的导数 $C^{\prime}(x)$ 在经济学中称为边际成本．试求
（1）当生产 100 件产品时的边际成本；
（2）生产第 101 件产品的成本，并与（1）中求得的边际成本作比较，说明边际成本的实际意义．
2-1-4
📝 有解析
第2-1-4题
4．设函数 $f(x)=\frac{(x-1)(x-2) \cdots \cdots(x-n)}{(x+1)(x+2) \cdots \cdots(x+n)}$ ，求 $f^{\prime}(1)$ ．
2-1-5
📝 有解析
第2-1-5题
5．证明 $(\cos x)^{\prime}=-\sin x$ ．
2-1-6
📝 有解析
第2-1-6题
6．下列各题中均假定 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)$ 存在，按照导数定义观察下列极限，指出 $A$ 表示什么：
（1） $\displaystyle{\lim} _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}-\Delta x\right)-f\left(x_{0}\right)}{\Delta x}=A$ ；
（2） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=A$ ，其中 $f(0)=0$ ，且 $f^{\prime}(0)$ 存在；
（3） $\displaystyle{\lim} _{h \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+h\right)-f\left(x_{0}-h\right)}{h}=A$ ．
以下两题中给出了四个结论，从中选出一个正确的结论：
2-1-7
📝 有解析
第2-1-7题
7．设
$$
f(x)= \begin{cases}\frac{2}{3} x^{3}, & x \leqslant 1 \\ x^{2}, & x\gt 1\end{cases}
$$
则 $f(x)$ 在 $x=1$ 处的 ）．
（A）左、右导数都存在
（B）左导数存在，右导数不存在
（C）左导数不存在，右导数存在
（D）左、右导数都不存在
2-1-8
📝 有解析
第2-1-8题
8．设 $f(x)$ 可导，$F(x)=f(x)(1+|\sin x|)$ ，则 $f(0)=0$ 是 $F(x)$ 在 $x=0$ 处可导的 ．
（A）充分必要条件
（B）充分条件但非必要条件
（C）必要条件但非充分条件
（D）既非充分条件又非必要条件
2-1-9
📝 有解析
第2-1-9题
9．求下列函数的导数：
（1）$y=x^{4}$ ；
（2）$y=\sqrt[3]{x^{2}}$ ；
（3）$y=x^{1.6}$ ；
（4）$y=\frac{1}{\sqrt{x}}$ ；
（5）$y=\frac{1}{x^{2}}$ ；
（6）$y=x^{3} \sqrt[5]{x}$ ；
（7）$y=\frac{x^{2} \sqrt[3]{x^{2}}}{\sqrt{x^{5}}}$ ．