习题2-2

1．推导余切函数及余割函数的导数公式： $$ (\cot x)^{\prime}=-\csc ^{2} x, \quad(\csc x)^{\prime}=-\csc x \cot x $$

10．设 $f(x)$ 可导，求下列函数的导数 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$ ： （1）$y=f\left(x^{2}\right)$ ； （2）$y=f\left(\sin ^{2} x\right)+f\left(\cos ^{2} x\right)$ ； （3）$y=\frac{f\left(\mathrm{e}^{x}\right)}{\mathrm{e}^{f(x)}}$ ．

11．求下列函数的导数： （1）$y=\mathrm{e}^{-x}\left(x^{2}-2 x+3\right)$ ； （2）$y=\sin ^{2} x \cdot \sin \left(x^{2}\right)$ ； （3）$y=\left(\arctan \frac{x}{2}\right)^{2}$ ； （4）$y=\frac{\ln x}{x^{n}}$ ； （5）$y=\frac{\mathrm{e}^{t}-\mathrm{e}^{-t}}{\mathrm{e}^{t}+\mathrm{e}^{-t}}$ ； （6）$y=\ln \cos \frac{1}{x}$ ； （7）$y=\mathrm{e}^{-\sin ^{2} \frac{1}{x}}$ （8）$y=\sqrt{x+\sqrt{x}}$ ； （9）$y=x \arcsin \frac{x}{2}+\sqrt{4-x^{2}}$ ； （10）$y=\arcsin \frac{2 t}{1+t^{2}}$ ．

13．设函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 均在点 $x_{0}$ 的某一邻域内有定义，$f(x)$ 在 $x_{0}$ 处可导，$f\left(x_{0}\right)=0, g(x)$ 在 $x_{0}$处连续，试讨论 $f(x) g(x)$ 在 $x_{0}$ 处的可导性．

14．设函数 $f(x)$ 满足下列条件： （1）$f(x+y)=f(x) \cdot f(y)$ ，对一切 $x, y \in \mathbf{R}$ ； （2）$f(x)$ 在 $x=0$ 处可导． 试证明 $f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上处处可导，且 $f^{\prime}(x)=f(x) \cdot f^{\prime}(0)$ ．

2．求下列函数的导数： （1）$y=x^{3}+\frac{7}{x^{4}}-\frac{2}{x}+12$ ； （2）$y=5 x^{3}-2^{x}+3 \mathrm{e}^{x}$ ； （3）$y=2 \tan x+\sec x-1$ ； （4）$y=\sin x \cdot \cos x$ ； （5）$y=x^{2} \ln x$ ； （6）$y=3 \mathrm{e}^{x} \cos x$ ； （7）$y=\frac{\ln x}{x}$ ； （8）$y=\frac{\mathrm{e}^{x}}{x^{2}}+\ln 3$ ； （9）$y=x^{2} \ln x \cos x$ ； （10）$s=\frac{1+\sin t}{1+\cos t}$ ．

3．求下列函数在给定点处的导数： （1）$y=\sin x-\cos x$ ，求 $\left.y^{\prime}\right|_{x=\frac{\pi}{6}}$ 和 $\left.y^{\prime}\right|_{x=\frac{\pi}{4}}$ ； （2）$\rho=\theta \sin \theta+\frac{1}{2} \cos \theta$ ，求 $\left.\frac{\mathrm{d} \rho}{\mathrm{d} \theta}\right|_{\theta=\frac{\pi}{4}}$ ； （3）$f(x)=\frac{3}{5-x}+\frac{x^{2}}{5}$ ，求 $f^{\prime}(0)$ 和 $f^{\prime}(2)$ ．

4．以初速度 $v_{0}$ 竖直上抛的物体，其上升高度 $s$ 与时间 $t$ 的关系是 $s=v_{0} t-\frac{1}{2} g t^{2}$ ．求： （1）该物体的速度 $v(t)$ ； （2）该物体达到最高点的时刻．

5．求曲线 $y=2 \sin x+x^{2}$ 上横坐标为 $x=0$ 的点处的切线方程和法线方程．

6．求下列函数的导数： （1）$y=(2 x+5)^{4}$ ； （2）$y=\cos (4-3 x)$ ； （3）$y=\mathrm{e}^{-3 x^{2}}$ ； （4）$y=\ln \left(1+x^{2}\right)$ ； （5）$y=\sin ^{2} x$ ； （6）$y=\sqrt{a^{2}-x^{2}}$ ； （7）$y=\tan x^{2}$ ； （8）$y=\arctan \left(\mathrm{e}^{x}\right)$ ； （9）$y=(\arcsin x)^{2}$ ； （10）$y=\ln \cos x$ ．

7．求下列函数的导数： （1）$y=\arcsin (1-2 x)$ ； （2）$y=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$ ； （3）$y=\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}} \cos 3 x$ ； （4）$y=\arccos \frac{1}{x}$ ； （5）$y=\frac{1-\ln x}{1+\ln x}$ ； （6）$y=\frac{\sin 2 x}{x}$ ； （7）$y=\arcsin \sqrt{x}$ ； （8）$y=\ln \left(x+\sqrt{a^{2}+x^{2}}\right)$ ； （9）$y=\ln (\sec x+\tan x)$ ； （10）$y=\ln (\csc x-\cot x)$ ．

8．求下列函数的导数： （1）$y=\left(\arcsin \frac{x}{2}\right)^{2}$ ； （2）$y=\ln \tan \frac{x}{2}$ ； （3）$y=\sqrt{1+\ln ^{2} x}$ ； （4）$y=\mathrm{e}^{\arctan \sqrt{x}}$ ； （5）$y=\sin ^{n} x \cos n x$ ； （6）$y=\arctan \frac{x+1}{x-1}$ ； （7）$y=\frac{\arcsin x}{\arccos x}$ ； （8）$y=\ln \ln \ln x$ ； （9）$y=\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}$ ； （10）$y=\arcsin \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}$ ．

9．设函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 可导，且 $f^{2}(x)+g^{2}(x) \neq 0$ ，试求函数 $y=\sqrt{f^{2}(x)+g^{2}(x)}$ 的导数．

＊12．求下列函数的导数： （1）$y=\operatorname{ch}(\operatorname{sh} x)$ ； （2）$y=\operatorname{sh} x \cdot \mathrm{e}^{\operatorname{ch} x}$ ； （3）$y=\operatorname{th}(\ln x)$ ； （4）$y=\operatorname{sh}^{3} x+\operatorname{ch}^{2} x$ ； （5）$y=\operatorname{th}\left(1-x^{2}\right)$ ； （6）$y=\operatorname{arsh}\left(x^{2}+1\right)$ ； （7）$y=\operatorname{arch}\left(\mathrm{e}^{2 x}\right)$ ； （8）$y=\arctan ($ th $x)$ ； （9）$y=\ln \operatorname{ch} x+\frac{1}{2 \operatorname{ch}^{2} x}$ ； （10）$y=\operatorname{ch}^{2}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)$ ．