习题2-3

1．求下列函数的二阶导数： （1）$y=2 x^{2}+\ln x$ ； （2）$y=\mathrm{e}^{2 x-1}$ ； （3）$y=x \cos x$ ； （4）$y=\mathrm{e}^{-t} \sin t$ ； （5）$y=\sqrt{a^{2}-x^{2}}$ ； （6）$y=\ln \left(1-x^{2}\right)$ ； （7）$y=\tan x$ ； （8）$y=\frac{1}{x^{3}+1}$ ； （9）$y=\left(1+x^{2}\right) \arctan x$ ； （1）记号 $\displaystyle{\sum}$ 表示对同一类型诸项求和。例如，$\displaystyle{\sum}_{k=0}^{n} \mathrm{C}_{n}^{k} u^{n-k} v^{k}$ 表示在 $\mathrm{C}_{n}^{k} u^{n-k} v^{k}$ 中依次令 $k=0,1, \cdots, n$ ，然后对这样得到的 $n+1$ 项求和． （10）$y=\frac{\mathrm{e}^{x}}{x}$ ； （11）$y=x \mathrm{e}^{x^{2}}$ ； （12）$y=\ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)$ ．

2．设 $f(x)=(x+10)^{6}$ ，求 $f^{\prime \prime \prime}(2)$ ．

3．设 $f^{\prime \prime}(x)$ 存在，求下列函数的二阶导数 $\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}$ ： （1）$y=f\left(x^{2}\right)$ ； （2）$y=\ln [f(x)]$ ．

4．试从 $\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} y}=\frac{1}{y^{\prime}}$ 导出： （1）$\frac{\mathrm{d}^{2} x}{\mathrm{~d} y^{2}}=-\frac{y^{\prime \prime}}{\left(y^{\prime}\right)^{3}}$ ； （2）$\frac{\mathrm{d}^{3} x}{\mathrm{~d} y^{3}}=\frac{3\left(y^{\prime \prime}\right)^{2}-y^{\prime} y^{\prime \prime \prime}}{\left(y^{\prime}\right)^{5}}$ ．

5．已知物体的运动规律为 $s=A \sin \omega t$（ $A, \omega$ 是常数），求该物体运动的加速度，并验证： $$ \frac{\mathrm{d}^{2} s}{\mathrm{~d} t^{2}}+\omega^{2} s=0 $$

6．密度大的陨星进人大气层时，它离地心为 $s \mathrm{~km}$ 时的速度与 $\sqrt{s}$ 成反比．试证陨星的加速度与 $s^{2}$成反比．

7．假设质点沿 $x$ 轴运动的速度为 $\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}=f(x)$ ，试求该质点运动的加速度．

8．设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\mathrm{e}^{x} \cos x, & x \leqslant 0, \\ a x^{2}+b x+c, & x\gt 0,\end{array}\right.$ 试选择常数 $a, b, c$ ，使 $f(x)$ 具有二阶导数．

9．求下列函数所指定的阶的导数： （1）$y=\mathrm{e}^{x} \cos x$ ，求 $y^{(4)}$ ； （2）$y=x^{2} \sin 2 x$ ，求 $y^{(50)}$ ．

＊10．求下列函数的 $n$ 阶导数的一般表达式： （1）$y=x^{n}+a_{1} x^{n-1}+a_{2} x^{n-2}+\cdots+a_{n-1} x+a_{n} \quad\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right.$ 都是常数）； （2）$y=\sin ^{2} x$ ； （3）$y=x \ln x$ ； （4）$y=x e^{x}$ ．

＊11．求函数 $f(x)=x^{2} \ln (1+x)$ 在 $x=0$ 处的 $n$ 阶导数 $f^{(n)}(0) \quad(n \geqslant 3)$ ．