习题2-4

1．求由下列方程所确定的隐函数的导数 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$ ： （1）$y^{2}-2 x y+9=0$ ； （2）$x^{3}+y^{3}-3 a x y=0$ ； （3）$x y=\mathrm{e}^{x+y}$ ； （4）$y=1-x \mathrm{e}^{y}$ ．

11．落在平静水面上的石头，产生同心波纹．若最外一圈波纹半径的增大速率总是 $6 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ ，问在 2 s 末扰动水面面积增大的速率为多少？

12．注水人深 8 m 、上顶直径 8 m 的正圆锥形容器中，其速率为 $4 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{min}$ ．当水深为 5 m 时，其表面上升的速率为多少？

13．溶液自深 18 cm 、顶直径 12 cm 的正圆锥形漏斗中漏人一直径为 10 cm 的圆柱形筒中．开始时漏斗中盛满了溶液。已知当溶液在漏斗中深为 12 cm 时，其表面下降的速率为 $1 \mathrm{~cm} / \mathrm{min}$ ．问此时圆柱形筒中溶液表面上升的速率为多少？

2．求曲线 $x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}}$ 在点 $\left(\frac{\sqrt{2}}{4} a, \frac{\sqrt{2}}{4} a\right)$ 处的切线方程和法线方程．

3．设曲线 $C$ 的方程为 $x^{2} y-x y^{2}=2$ ，试找出 $C$ 上有水平切线和铅直切线的点．

4．求由下列方程所确定的隐函数的二阶导数 $\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}$ ： （1）$b^{2} x^{2}+a^{2} y^{2}=a^{2} b^{2}$ ； （2）$y=\tan (x+y)$ ； （3）$y=1+x \mathrm{e}^{y}$ ； （4）$y-2 x=(x-y) \ln (x-y)$ ．

5．用对数求导法求下列函数的导数： （1）$y=\left(\frac{x}{1+x}\right)^{x}$ ； （2）$y=\sqrt[5]{\frac{x-5}{\sqrt[5]{x^{2}+2}}}$ ； （3）$y=\frac{\sqrt{x+2}(3-x)^{4}}{(x+1)^{5}}$ ； （4）$y=\sqrt{x \sin x \sqrt{1-\mathrm{e}^{x}}}$ ．

6．求下列参数方程所确定的函数的导数 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$ ： （1）$\left\{\begin{array}{l}x=a t^{2}, \\ y=b t^{3} ;\end{array}\right.$ （2）$\left\{\begin{array}{l}x=\theta(1-\sin \theta), \\ y=\theta \cos \theta .\end{array}\right.$

7．已知 $\left\{\begin{array}{l}x=\mathrm{e}^{t} \sin t, \\ y=\mathrm{e}^{t} \cos t,\end{array}\right.$ 求当 $t=\frac{\pi}{3}$ 时 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$ 的值．

8．写出下列曲线在所给参数值相应的点处的切线方程和法线方程： （1）$\left\{\begin{array}{l}x=\sin t, \\ y=\cos 2 t,\end{array}\right.$ 在 $t=\frac{\pi}{4}$ 处； （2）$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{3 a t}{1+t^{2}}, \\ y=\frac{3 a t^{2}}{1+t^{2}},\end{array}\right.$ 在 $t=2$ 处．

9．求下列参数方程所确定的函数的二阶导数 $\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}$ ： （1）$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{t^{2}}{2}, \\ y=1-t ;\end{array}\right.$ （2）$\left\{\begin{array}{l}x=a \cos t, \\ y=b \sin t ;\end{array}\right.$ （3）$\left\{\begin{array}{l}x=3 \mathrm{e}^{-t}, \\ y=2 \mathrm{e}^{t} ;\end{array}\right.$ （4）$\left\{\begin{array}{l}x=f^{\prime}(t), \\ y=t f^{\prime}(t)-f(t),\end{array}\right.$ 设 $f^{\prime \prime}(t)$ 存在且不为零．

＊10．求下列参数方程所确定的函数的三阶导数 $\frac{\mathrm{d}^{3} y}{\mathrm{~d} x^{3}}$ ： （1）$\left\{\begin{array}{l}x=1-t^{2}, \\ y=t-t^{3} ;\end{array}\right.$ （2）$\left\{\begin{array}{l}x=\ln \left(1+t^{2}\right), \\ y=t-\arctan t .\end{array}\right.$