习题2-5

1．已知 $y=x^{3}-x$ ，计算在 $x=2$ 处当 $\Delta x$ 分别等于 $1,0.1,0.01$ 时的 $\Delta y$ 及 $\mathrm{d} y$ ．

10．计算下列各根式的近似值： （1）$\sqrt[3]{996}$ ； （2）$\sqrt[6]{65}$ ．

2．设函数 $y=f(x)$ 的图形如图 2－12，试在图 2－12（a）、（b）、（c）、（d）中分别标出在点 $x_{0}$ 的 $\mathrm{d} y$ ， $\Delta y$ 及 $\Delta y-\mathrm{d} y$ ，并说明其正负． <img src="/static/img/textbook/1573b9fd9034.jpg" style="max-width:100%;height:auto;"> <img src="/static/img/textbook/f89d9fb80039.jpg" style="max-width:100%;height:auto;"> <img src="/static/img/textbook/3599b8e5720c.jpg" style="max-width:100%;height:auto;">

3．求下列函数的微分： （1）$y=\frac{1}{x}+2 \sqrt{x}$ ； （2）$y=x \sin 2 x$ ； （3）$y=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}$ ； （4）$y=\ln ^{2}(1-x)$ ； （5）$y=x^{2} e^{2 x}$ ； （6）$y=\mathrm{e}^{-x} \cos (3-x)$ ； （7）$y=\arcsin \sqrt{1-x^{2}}$ ； （8）$y=\tan ^{2}\left(1+2 x^{2}\right)$ ； （9）$y=\arctan \frac{1-x^{2}}{1+x^{2}}$ ； （10）$s=A \sin (\omega t+\varphi) \quad(A, \omega, \varphi$ 是常数）．

4．将适当的函数填人下列括号内，使等式成立： （1） $\mathrm{d}(\quad)=2 \mathrm{~d} x$ ； （2） $\mathrm{d}(\quad)=3 x \mathrm{~d} x$ ； （3） $\mathrm{d}(\quad)=\cos t \mathrm{~d} t$ ； （4）$d(\quad)=\sin \omega x d x \quad(\omega \neq 0)$ ； （5） $\mathrm{d}(\quad)=\frac{1}{1+x} \mathrm{~d} x$ ； （6） $\mathrm{d}(\quad)=\mathrm{e}^{-2 x} \mathrm{~d} x$ ； （7） $\mathrm{d}(\quad)=\frac{1}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x$ ； （8） $\mathrm{d}(\quad)=\sec ^{2} 3 x \mathrm{~d} x$ ．

5．如图 2－13 所示的电缆 $\overparen{A O B}$ 的长为 $s$ ，跨度为 $2 l$ ，电缆的最低点 $O$ 与杆顶连线 $A B$ 的距离为 $f$ ，则电缆长可按下面公式计算 $$ s=2 l\left(1+\frac{2 f^{2}}{3 l^{2}}\right) $$ 当 $f$ 变化了 $\Delta f$ 时，电缆长的变化约为多少？

6．设扇形的圆心角 $\alpha=60^{\circ}$ ，半径 $R=100 \mathrm{~cm}$（图2－14）．如果 $R$ 不变，$\alpha$ 减少 $30^{\prime}$ ，问扇形面积大约改变了多少？又如果 $\alpha$ 不变，$R$ 增加 1 cm ，问扇形面积大约改变了多少？ <img src="/static/img/textbook/dc9e6a0c0ff3.jpg" style="max-width:100%;height:auto;"> <img src="/static/img/textbook/771e1ac3dad6.jpg" style="max-width:100%;height:auto;">

7．计算下列三角函数值的近似值： （1） $\cos 29^{\circ}$ ； （2） $\tan 136^{\circ}$ ．

8．计算下列反三角函数值的近似值： （1） $\arcsin 0.5002$ ； （2） $\arccos 0.4995$ ．

9．当 $|x|$ 较小时，证明下列近似公式： （1） $\tan x \approx x$（ $x$ 是角的弧度值）； （2） $\ln (1+x) \approx x$ ； （3）$\sqrt[n]{1+x} \approx 1+\frac{1}{n} x$ ； （4） $\mathrm{e}^{x} \approx 1+x$ ． 并计算 $\tan 45^{\prime}$ 和 $\ln 1.002$ 的近似值．

＊11．计算球体体积时，要求精确度在 $2 \%$ 以内．问这时测量直径 $D$ 的相对误差不能超过多少？

＊12．某厂生产如图 2－15 所示的扇形板，半径 $R=200 \mathrm{~mm}$ ，要求圆心角 $\alpha$ 为 $55^{\circ}$ ．产品检验时，一般用测量弦长 $l$ 的办法来间接测量圆心角 $\alpha$ ．如果测量弦长 $l$ 时的误差 $\delta_{l}=0.1 \mathrm{~mm}$ ，问由此而引起的圆心角测量误差 <img src="/static/img/textbook/fda2f2585224.jpg" style="max-width:100%;height:auto;"> $\delta_{\alpha}$ 是多少？