习题3-1

3-1-1 📝 有解析

第3-1-1题

1．验证罗尔定理对函数 $y=\ln \sin x$ 在区间 $\left[\frac{\pi}{6}, \frac{5 \pi}{6}\right]$ 上的正确性．

3-1-10 📝 有解析

第3-1-10题

10．设 $a\gt b\gt 0$ ，证明：$\frac{a-b}{a}\lt \ln \frac{a}{b}\lt \frac{a-b}{b}$ ．

3-1-11 📝 有解析

第3-1-11题

11．证明下列不等式： （1）$|\arctan a-\arctan b| \leqslant|a-b|$ ； （2）当 $x\gt 1$ 时， $\mathrm{e}^{x}\gt \mathrm{e} x$ ．

3-1-12 📝 有解析

第3-1-12题

12．证明方程 $x^{5}+x-1=0$ 只有一个正根．

3-1-14 📝 有解析

第3-1-14题

14．证明：若函数 $y=f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内满足关系式 $f^{\prime}(x)=f(x)$ ，且 $f(0)=1$ ，则 $f(x)=\mathrm{e}^{x}$ ．

3-1-2 📝 有解析

第3-1-2题

2．验证拉格朗日中值定理对函数 $y=4 x^{3}-5 x^{2}+x-2$ 在区间 $[0,1]$ 上的正确性．

3-1-3 📝 有解析

第3-1-3题

3．对函数 $f(x)=\sin x$ 及 $F(x)=x+\cos x$ 在区间 $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上验证柯西中值定理的正确性．

3-1-4 📝 有解析

第3-1-4题

4．试证明对函数 $y=p x^{2}+q x+r$ 应用拉格朗日中值定理时所求得的点 $\xi$ 总是位于区间的正中间．

3-1-5 📝 有解析

第3-1-5题

5．不用求出函数 $f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$ 的导数，说明方程 $f^{\prime}(x)=0$ 有几个实根，并指出它们所在的区间．

3-1-6 📝 有解析

第3-1-6题

6．证明恒等式： $\arcsin x+\arccos x=\frac{\pi}{2}(-1 \leqslant x \leqslant 1)$ ．

3-1-7 📝 有解析

第3-1-7题

7．若方程 $a_{0} x^{n}+a_{1} x^{n-1}+\cdots+a_{n-1} x=0$ 有一个正根 $x=x_{0}$ ，证明方程 $a_{0} n x^{n-1}+a_{1}(n-1) x^{n-2}+\cdots+a_{n-1}=$ 0 必有一个小于 $x_{0}$ 的正根．

3-1-8 📝 有解析

第3-1-8题

8．若函数 $f(x)$ 在 $[1,2]$ 上具有二阶导数，且 $f(2)=0$ ，又 $F(x)=(x-1)^{2} f(x)$ ，证明在 $(1,2)$ 内至少存在一点 $\xi$ ，使 $F^{\prime \prime}(\xi)=0$ ．

3-1-9 📝 有解析

第3-1-9题

9．设 $a\gt b\gt 0, n\gt 1$ ，证明：$n b^{n-1}(a-b)\lt a^{n}-b^{n}\lt n a^{n-1}(a-b)$ ．

3-1-*13 📝 有解析

第3-1-*13题

＊13．设 $f(x), g(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，证明在 $(a, b)$ 内有一点 $\xi$ ，使 $$ \left|\begin{array}{ll} f(a) & f(b) \\ g(a) & g(b) \end{array}\right|=(b-a)\left|\begin{array}{ll} f(a) & f^{\prime}(\xi) \\ g(a) & g^{\prime}(\xi) \end{array}\right| $$

3-1-*15 📝 有解析

第3-1-*15题

＊15．设函数 $y=f(x)$ 在 $x=0$ 的某邻域内具有 $n$ 阶导数，且 $f(0)=f^{\prime}(0)=\cdots=f^{(n-1)}(0)=0$ ，试用柯西中值定理证明： $$ \frac{f(x)}{x^{n}}=\frac{f^{(n)}(\theta x)}{n!} \quad(0\lt \theta\lt 1) . $$