习题3-2

1．用洛必达法则求下列极限： （1） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+x)}{x}$ ； （2） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}}{\sin x}$ ； （3） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x-x}{x-\sin x}$ ； （4） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \pi \tan 5 x} \frac{\sin 3 x}{5 x}$ ； （5） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{\ln \sin x}{(\pi-2 x)^{2}}$ ； （6） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow a} \frac{x^{m}-a^{m}}{x^{n}-a^{n}}(a \neq 0)$ ； （7） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\ln \tan 7 x}{\ln \tan 2 x}$ ； （8） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{\tan x}{\tan 3 x}$ ； （9） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow+\infty} \frac{\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)}{\operatorname{arccot} x}$ ； （10） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \left(1+x^{2}\right)}{\sec x-\cos x}$ ； （11） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} x \cot 2 x$ ； （12） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} x^{2} \mathrm{e}^{\frac{1}{x^{2}}}$ ； （13） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 1}\left(\frac{2}{x^{2}-1}-\frac{1}{x-1}\right)$ ； （14） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0}\left(\mathrm{e}^{x}+x\right)^{\frac{1}{x}}$ ； （15） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0^{+}} x^{\sin x}$ ； （16） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0^{+}}\left(\frac{1}{x}\right)^{\tan x}$ ．

2．验证极限 $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \infty} \frac{x+\sin x}{x}$ 存在，但不能用洛必达法则得出．

3．验证极限 $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2} \sin \frac{1}{x}}{\sin x}$ 存在，但不能用洛必达法则得出．

＊4．讨论函数 $$ f(x)= \begin{cases}{\left[\frac{(1+x)^{\frac{1}{x}}}{\mathrm{e}}\right]^{\frac{1}{x}},} & x\gt 0, \\ \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}}, & x \leqslant 0\end{cases} $$ 在点 $x=0$ 处的连续性．