习题3-3

1．按 $x-4$ 的幂展开多项式 $f(x)=x^{4}-5 x^{3}+x^{2}-3 x+4$ ．

11．若函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内具有二阶导数，且 $f^{\prime \prime}(x)\gt 0$ ，又 $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=1$ ，证明：$f(x) \geqslant x$ ， $x \in(-\infty,+\infty)$ ．

2．应用麦克劳林公式，按 $x$ 的幂展开函数 $f(x)=\left(x^{2}-3 x+1\right)^{3}$ ．

3．求函数 $f(x)=\sqrt{x}$ 按 $x-4$ 的幂展开的带有拉格朗日余项的 3 阶泰勒公式．

4．求函数 $f(x)=\ln x$ 按 $x-2$ 的幂展开的带有佩亚诺余项的 $n$ 阶泰勒公式．

5．求函数 $f(x)=\frac{1}{x}$ 按 $x+1$ 的幂展开的带有拉格朗日余项的 $n$ 阶泰勒公式．

6．求函数 $f(x)=\tan x$ 的带有佩亚诺余项的 3 阶麦克劳林公式．

7．求函数 $f(x)=x \mathrm{e}^{x}$ 的带有佩亚诺余项的 $n$ 阶麦克劳林公式．

8．验证当 $0\lt x \leqslant \frac{1}{2}$ 时，按公式 $\mathrm{e}^{x} \approx 1+x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{6}$ 计算 $\mathrm{e}^{x}$ 的近似值时，所产生的误差小于 0.01 ，并求 $\sqrt{\mathrm{e}}$ 的近似值，使误差小于 0.01 ．

9．应用 3 阶泰勒公式求下列各数的近似值，并估计误差： （1）$\sqrt[3]{30}$ ； （2） $\sin 18^{\circ}$ ．

＊10．利用泰勒公式求下列极限： （1） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow+\infty}\left(\sqrt[3]{x^{3}+3 x^{2}}-\sqrt[4]{x^{4}-2 x^{3}}\right)$ ； （2） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{\cos x-\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}}{x^{2}[x+\ln (1-x)]}$ ； （3） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{1+\frac{1}{2} x^{2}-\sqrt{1+x^{2}}}{\left(\cos x-e^{x^{2}}\right) \sin x^{2}}$ ； （4） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \infty}\left[x-x^{2} \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)\right]$ ．