习题3-4

1．判定函数 $f(x)=\arctan x-x$ 的单调性．

10．求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间： （1）$y=x^{3}-5 x^{2}+3 x+5$ ； （2）$y=x e^{-x}$ ； （3）$y=(x+1)^{4}+\mathrm{e}^{x}$ ； （4）$y=\ln \left(x^{2}+1\right)$ ； （5）$y=\mathrm{e}^{\arctan x}$ ； （6）$y=x^{4}(12 \ln x-7)$ ．

11．利用函数图形的凹凸性，证明下列不等式： （1）$\frac{1}{2}\left(x^{n}+y^{n}\right)\gt \left(\frac{x+y}{2}\right)^{n}(x\gt 0, y\gt 0, x \neq y, n\gt 1)$ ； （2）$\frac{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{y}}{2}\gt \mathrm{e}^{\frac{x+y}{2}}(x \neq y)$ ； （3）$x \ln x+y \ln y\gt (x+y) \ln \frac{x+y}{2}(x\gt 0, y\gt 0, x \neq y)$ ； （4） $\sin x\gt \frac{2 x}{\pi}\left(0\lt x\lt \frac{\pi}{2}\right)$ ．

13．问 $a, b$ 为何值时，点 $(1,3)$ 为曲线 $y=a x^{3}+b x^{2}$ 的拐点？

14．试决定曲线 $y=a x^{3}+b x^{2}+c x+d$ 中的 $a, b, c, d$ ，使得 $x=-2$ 处曲线有水平切线，$(1,-10)$ 为拐点，且点 $(-2,44)$ 在曲线上．

15．试决定 $y=k\left(x^{2}-3\right)^{2}$ 中 $k$ 的值，使曲线的拐点处的法线通过原点．

2．判定函数 $f(x)=x+\cos x$ 的单调性．

3．确定下列函数的单调区间： （1）$y=2 x^{3}-6 x^{2}-18 x-7$ ； （2）$y=2 x+\frac{8}{x} \quad(x\gt 0)$ ； （3）$y=\frac{10}{4 x^{3}-9 x^{2}+6 x}$ ； （4）$y=\ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)$ ； （5）$y=(x-1)(x+1)^{3}$ ； （6）$y=\sqrt[3]{(2 x-a)(a-x)^{2}} \quad(a\gt 0)$ ； （7）$y=x^{n} \mathrm{e}^{-x} \quad(n\gt 0, x \geqslant 0)$ ； （8）$y=x+|\sin 2 x|$ ．

4．设函数 $y=f(x)$ 在定义域内可导，$y=f(x)$ 的图形如图 3－9所示，则导函数 $f^{\prime}(x)$ 的图形为图3－10中所示的四个图形中的哪一个？ <img src="/static/img/textbook/0d7fd4c0dde7.jpg" style="max-width:100%;height:auto;"> <img src="/static/img/textbook/f9b1294529f6.jpg" style="max-width:100%;height:auto;">

5．证明下列不等式： （1）当 $x\gt 0$ 时， $1+\frac{1}{2} x\gt \sqrt{1+x}$ ； （2）当 $x\gt 0$ 时， $1+x \ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)\gt \sqrt{1+x^{2}}$ ； （3）当 $0\lt x\lt \frac{\pi}{2}$ 时， $\sin x+\tan x\gt 2 x$ ； （4）当 $0\lt x\lt \frac{\pi}{2}$ 时， $\tan x\gt x+\frac{1}{3} x^{3}$ ； （5）当 $x\gt 4$ 时， $2^{x}\gt x^{2}$ ．

6．讨论方程 $\ln x=a x$（其中 $a\gt 0$ ）有几个实根．

7．单调函数的导函数是否必为单调函数？研究下面的例子： $$ f(x)=x+\sin x $$

8．设 $I$ 为任一无穷区间，函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上连续，$I$ 内可导．试证明：如果 $f(x)$ 在 $I$ 的任一有限的子区间上 $f^{\prime}(x) \geqslant 0$（或 $f^{\prime}(x) \leqslant 0$ ），且等号仅在有限多个点处成立，那么 $f(x)$ 在区间 $I$ 上单调增加 （或单调减少）．

9．判定下列曲线的凹凸性： （1）$y=4 x-x^{2}$ ； （2）$y=\operatorname{sh} x$ ； （3）$y=x+\frac{1}{x}(x\gt 0)$ ； （4）$y=x \arctan x$ ．

＊12．试证明曲线 $y=\frac{x-1}{x^{2}+1}$ 有三个拐点位于同一直线上．

＊16．设 $y=f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 的某邻域内具有三阶连续导数，如果 $f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)=0$ ，而 $f^{\prime \prime \prime}\left(x_{0}\right) \neq 0$ ，试问 $\left(x_{0}, f\left(x_{0}\right)\right)$ 是不是拐点？为什么？