习题3-5

1．求下列函数的极值： （1）$y=2 x^{3}-6 x^{2}-18 x+7$ ； （2）$y=x-\ln (1+x)$ ； （3）$y=-x^{4}+2 x^{2}$ ； （4）$y=x+\sqrt{1-x}$ ； （5）$y=\frac{1+3 x}{\sqrt{4+5 x^{2}}}$ ； （6）$y=\frac{3 x^{2}+4 x+4}{x^{2}+x+1}$ ； （7）$y=\mathrm{e}^{x} \cos x$ ； （8）$y=x^{\frac{1}{x}}$ ； （9）$y=3-2(x+1)^{\frac{1}{3}}$ ； （10）$y=x+\tan x$ ．

10．某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋，现有存砖只够砌 20 m 长的墙壁．问应围成怎样的长方形才能使这间小屋的面积最大？

11．要造一圆柱形油罐，体积为 $V$ ，问底半径 $r$ 和高 $h$ 各等于多少时，才能使表面积最小？这时底直径与高的比是多少？

12．某地区防空洞的截面拟建成矩形加半圆（图3－19）．截面的面积为 $5 \mathrm{~m}^{2}$ 。问底宽 $x$ 为多少时才能使截面的周长最小，从而使建造时所用的材料最省？

13．设有质量为 5 kg 的物体，置于水平面上，受力 $\boldsymbol{F}$ 的作用而开始移动（图3－20）．设摩擦系数 $\mu=0.25$ ，问力 $F$ 与水平线的交角 $\alpha$ 为多少时，才可使力 $F$ 的大小为最小？ <img src="/static/img/textbook/03d2e7430510.jpg" style="max-width:100%;height:auto;"> <img src="/static/img/textbook/358a5359954a.jpg" style="max-width:100%;height:auto;">

14．有一杠杆，支点在它的一端。在距支点 0.1 m 处挂一质量为 49 kg 的物体。加力 $F$ 于杠杆的另一端使杜杆保持水平（图3－21）．如果杜杆的线密度为 $5 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}$ ，求最省力的杆长．

15．从一块半径为 $R$ 的圆铁片上剪去一个扇形做成一个漏斗（图3－22）。问留下的扇形的圆心角 $\varphi$ 取多大时，做成的漏斗的容积最大？ <img src="/static/img/textbook/fe143ae2f20d.jpg" style="max-width:100%;height:auto;"> <img src="/static/img/textbook/f7d9b1b1c4b9.jpg" style="max-width:100%;height:auto;">

16．某吊车的车身高为 1.5 m ，吊臂长 15 m ．现在要把一个 6 m 宽、 2 m 高的屋架（图3－23（a）），水平地吊到 6 m 高的柱子上去（图3－23（ b ）），问能否吊得上去？ <img src="/static/img/textbook/cd9e0963adf8.jpg" style="max-width:100%;height:auto;">

17．一房地产公司有 50 套公寓要出租．当月租金定为 4000 元时，公寓会全部租出去．当月租金每增加200元时，就会多一套公寓租不出去，而租出去的公寓平均每月需花费 400 元的维修费．试问房租定为多少可获得最大收人？

18．已知制作一个背包的成本为 40 元．如果每一个背包的售出价格为 $x$ 元，售出的背包数由 $$ n=\frac{a}{x-40}+b(80-x) $$ 给出，其中 $a, b$ 为正常数．问什么样的售出价格能带来最大利润？

2．试证明：如果函数 $y=a x^{3}+b x^{2}+c x+d$ 满足条件 $b^{2}-3 a c\lt 0$ ，那么这个函数没有极值．

3．试问 $a$ 为何值时，函数 $f(x)=a \sin x+\frac{1}{3} \sin 3 x$ 在 $x=\frac{\pi}{3}$ 处取得极值？它是极大值还是极小值？并求此极值．

4．设函数 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 处有 $n$ 阶导数，且 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)=f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)=\cdots=f^{(n-1)}\left(x_{0}\right)=0, f^{(n)}\left(x_{0}\right) \neq 0$ ，证明： （1）当 $n$ 为奇数时，$f(x)$ 在 $x_{0}$ 处不取得极值； （2）当 $n$ 为偶数时，$f(x)$ 在 $x_{0}$ 处取得极值，且当 $f^{(n)}\left(x_{0}\right)\lt 0$ 时，$f\left(x_{0}\right)$ 为极大值，当 $f^{(n)}\left(x_{0}\right)\gt 0$时，$f\left(x_{0}\right)$ 为极小值．

5．试利用习题 4 的结论，讨论函数 $f(x)=\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}+2 \cos x$ 的极值．

6．求下列函数的最大值、最小值； （1）$y=2 x^{3}-3 x^{2},-1 \leqslant x \leqslant 4$ ； （2）$y=x^{4}-8 x^{2}+2,-1 \leqslant x \leqslant 3$ ； （3）$y=x+\sqrt{1-x},-5 \leqslant x \leqslant 1$ ．

7．问函数 $y=2 x^{3}-6 x^{2}-18 x-7(1 \leqslant x \leqslant 4)$ 在何处取得最大值？并求出它的最大值．

8．求下列函数在何处取得最小值或最大值： （1）$y=x^{2}-\frac{54}{x}(x\lt 0)$ ，最小值； （2）$y=\frac{x}{x^{2}+1}(x \geqslant 0)$ ，最大值．

9．设函数 $f_{n}(x)=n x(1-x)^{n}(n=1,2,3, \cdots), M(n)=\max _{x \in[0,1]} f_{n}(x)$ ，试求 $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} M(n)$ ．