习题3-7

3-7-1 📝 有解析

第3-7-1题

1．求椭圆 $4 x^{2}+y^{2}=4$ 在点 $(0,2)$ 处的曲率．

3-7-2 📝 有解析

第3-7-2题

2．求曲线 $y=\ln \sec x$ 在点 $(x, y)$ 处的曲率及曲率半径．

3-7-3 📝 有解析

第3-7-3题

3．求抛物线 $y=x^{2}-4 x+3$ 在其顶点处的曲率及曲率半径．

3-7-4 📝 有解析

第3-7-4题

4．求曲线 $x=a \cos ^{3} t, y=a \sin ^{3} t$ 在 $t=t_{0}$ 相应的点处的曲率．

3-7-5 📝 有解析

第3-7-5题

5．对数曲线 $y=\ln x$ 上哪一点处的曲率半径最小？求出该点处的曲率半径．

3-7-7 📝 有解析

第3-7-7题

7．一飞机沿抛物线路径 $y=\frac{x^{2}}{10000}(y$ 轴铅直向上，单位为 m$)$ 做俯冲飞行．在坐标原点 $O$ 处飞机的速度为 $v=200 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ ．飞行员体重 $G=70 \mathrm{~kg}$ ．求飞机俯冲至最低点即原点 $O$ 处时座椅对飞行员的反力．

3-7-8 📝 有解析

第3-7-8题

8．汽车连同载质量共 5 t ，在抛物线拱桥上行驶，速度为 $21.6 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ ，桥的跨度为 10 m ，拱的矢高为 0.25 m （图3－37）．求汽车越过桥顶时对桥的压力． <img src="/static/img/textbook/fb02b792d585.jpg" style="max-width:100%;height:auto;">

3-7-9 📝 有解析

第3-7-9题

9．设 $R$ 为抛物线 $y=x^{2}$ 上任一点 $M(x, y)$ 处的曲率半径，$s$ 为该曲线上某一点 $M_{0}$ 到点 $M$ 的弧长，证明： $3 R \frac{\mathrm{~d}^{2} R}{\mathrm{~d} s^{2}}-\left(\frac{\mathrm{d} R}{\mathrm{~d} s}\right)^{2}-9=0$ ．

3-7-*10 📝 有解析

第3-7-*10题

＊10．求曲线 $y=\tan x$ 在点 $\left(\frac{\pi}{4}, 1\right)$ 处的曲率圆方程．

3-7-*11 📝 有解析

第3-7-*11题

＊11．求抛物线 $y^{2}=2 p x$ 的渐屈线方程．

3-7-*6 📝 有解析

第3-7-*6题

＊6．证明曲线 $y=a \operatorname{ch} \frac{x}{a}$ 在点 $(x, y)$ 处的曲率半径为 $\frac{y^{2}}{a}$ ．