习题4-1

1．利用求导运算验证下列等式： （1） $\displaystyle{\int} \frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}} \mathrm{~d} x=\ln \left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right)+C$ ； （2） $\displaystyle{\int} \frac{1}{x^{2} \sqrt{x^{2}-1}} \mathrm{~d} x=\frac{\sqrt{x^{2}-1}}{x}+C$ ； （3） $\displaystyle{\int} \frac{2 x}{\left(x^{2}+1\right)(x+1)^{2}} \mathrm{~d} x=\arctan x+\frac{1}{x+1}+C$ ； （4） $\displaystyle{\int} \sec x \mathrm{~d} x=\ln |\tan x+\sec x|+C$ ； （5） $\displaystyle{\int} x \cos x \mathrm{~d} x=x \sin x+\cos x+C$ ； （6） $\displaystyle{\int} \mathrm{e}^{x} \sin x \mathrm{~d} x=\frac{1}{2} \mathrm{e}^{x}(\sin x-\cos x)+C$ ．

2．求下列不定积分： （1） $\displaystyle{\int} \frac{\mathrm{d} x}{x^{2}}$ ； （2） $\displaystyle{\int} x \sqrt{x} \mathrm{~d} x$ ； （3） $\displaystyle{\int} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x}}$ ； （4） $\displaystyle{\int} x \sqrt[3]{x} \mathrm{~d} x$ ； （5） $\displaystyle{\int} \frac{\mathrm{d} x}{x^{2} \sqrt{x}}$ ； （6） $\displaystyle{\int} \sqrt[m]{x^{n}} \mathrm{~d} x$ ； （7） $\displaystyle{\int} 5 x^{3} \mathrm{~d} x$ ； （8） $\displaystyle{\int}\left(x^{2}-3 x+2\right) \mathrm{d} x$ ； （9） $\displaystyle{\int} \frac{\mathrm{d} h}{\sqrt{2 g h}}$（ $g$ 是常数）； （10） $\displaystyle{\int}\left(x^{2}+1\right)^{2} \mathrm{~d} x$ ； （11） $\displaystyle{\int}(\sqrt{x}+1)\left(\sqrt{x^{3}}-1\right) \mathrm{d} x$ ； （12） $\displaystyle{\int} \frac{(1-x)^{2}}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x$ ； （13） $\displaystyle{\int}\left(2 \mathrm{e}^{x}+\frac{3}{x}\right) \mathrm{d} x$ ； （14） $\displaystyle{\int}\left(\frac{3}{1+x^{2}}-\frac{2}{\sqrt{1-x^{2}}}\right) \mathrm{d} x$ ； （15） $\displaystyle{\int} \mathrm{e}^{x}\left(1-\frac{\mathrm{e}^{-x}}{\sqrt{x}}\right) \mathrm{d} x$ ； （16） $\displaystyle{\int} 3^{x} \mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} x$ ； （17） $\displaystyle{\int} \frac{2 \cdot 3^{x}-5 \cdot 2^{x}}{3^{x}} \mathrm{~d} x$ ； （18） $\displaystyle{\int} \sec x(\sec x-\tan x) \mathrm{d} x$ ； （19） $\displaystyle{\int} \cos ^{2} \frac{x}{2} \mathrm{~d} x$ ； （20） $\displaystyle{\int} \frac{\mathrm{d} x}{1+\cos 2 x}$ ； （21） $\displaystyle{\int} \frac{\cos 2 x}{\cos x-\sin x} \mathrm{~d} x$ ； （22） $\displaystyle{\int} \frac{\cos 2 x}{\cos ^{2} x \sin ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ； （23） $\displaystyle{\int} \cot ^{2} x \mathrm{~d} x$ ； （24） $\displaystyle{\int} \cos \theta(\tan \theta+\sec \theta) \mathrm{d} \theta$ ； （25） $\displaystyle{\int} \frac{x^{2}}{x^{2}+1} \mathrm{~d} x$ ； （26） $\displaystyle{\int} \frac{3 x^{4}+2 x^{2}}{x^{2}+1} \mathrm{~d} x$ ．

3．含有末知函数的导数的方程称为微分方程，例如方程 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=f(x)$ ，其中 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$ 为末知函数的导数， $f(x)$ 为已知函数．如果将函数 $y=\varphi(x)$ 代人微分方程，使微分方程成为恒等式，那么函数 $y=\varphi(x)$ 就称为该微分方程的解．求下列微分方程满足所给条件的解： （1）$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=(x-2)^{2},\left.\quad y\right|_{x=2}=0$ ； （2）$\frac{\mathrm{d}^{2} x}{\mathrm{~d} t^{2}}=\frac{2}{t^{3}},\left.\quad \frac{\mathrm{~d} x}{\mathrm{~d} t}\right|_{t=1}=1,\left.x\right|_{t=1}=1$ ．

4．汽车以 $20 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ 的速度沿直线行驶，刹车后匀减速行驶了 50 m 停住，求刹车加速度．可执行下列步骤： （1）求微分方程 $\frac{\mathrm{d}^{2} s}{\mathrm{~d} t^{2}}=-k$ 满足条件 $\left.\frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{~d} t}\right|_{t=0}=20$ 及 $\left.s\right|_{t=0}=0$ 的解； （2）求使 $\frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{~d} t}=0$ 的 $t$ 值及相应的 $s$ 值； （3）求使 $s=50$ 的 $k$ 值．

5．一曲线通过点 $\left(\mathrm{e}^{2}, 3\right)$ ，且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数，求该曲线的方程．

6．一物体沿直线由静止开始运动，经 $t \mathrm{~s}$ 后的速度是 $3 t^{2} \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ ，问 （1） 3 s 后物体离开出发点的距离是多少？ （2）物体走完 360 m 需要多少时间？

7．证明 $\arcsin (2 x-1), \arccos (1-2 x)$ 和 $2 \arctan \sqrt{\frac{x}{1-x}}$ 都是 $\frac{1}{\sqrt{x-x^{2}}}$ 的原函数．