习题4-2

1．在下列各式等号右端的横线处填人适当的系数，使等式成立（例如： $\left.\mathrm{d} x=\frac{1}{4} \mathrm{~d}(4 x+7)\right)$ ： （1） $\mathrm{d} x=\_\mathrm{d}(a x)(a \neq 0)$ ； （2） $\mathrm{d} x=\_\mathrm{d}(7 x-3)$ ； （3）$x \mathrm{~d} x=\_\mathrm{d}\left(x^{2}\right)$ ； （4）$x \mathrm{~d} x=\ldots \mathrm{d}\left(5 x^{2}\right)$ ； （5）$x \mathrm{~d} x=\_\mathrm{d}\left(1-x^{2}\right)$ ； （6）$x^{3} \mathrm{~d} x=\_\mathrm{d}\left(3 x^{4}-2\right)$ ； （7） $\mathrm{e}^{2 x} \mathrm{~d} x=-\mathrm{d}\left(\mathrm{e}^{2 x}\right)$ ； （8） $\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}} \mathrm{~d} x=\_\mathrm{d}\left(1+\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}\right)$ ； （9） $\sin \frac{3}{2} x \mathrm{~d} x=\_\mathrm{d}\left(\cos \frac{3}{2} x\right)$ ； （10）$\frac{\mathrm{d} x}{x}=\_\mathrm{d}(5 \ln |x|)$ ； （11）$\frac{\mathrm{d} x}{x}=\ldots \mathrm{d}(3-5 \ln |x|)$ ； （12）$\frac{\mathrm{d} x}{1+9 x^{2}}=-\mathrm{d}(\arctan 3 x)$ ； （13）$\frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{1-x^{2}}}=-\mathrm{d}(1-\arcsin x)$ ； （14）$\frac{x \mathrm{~d} x}{\sqrt{1-x^{2}}}=-\mathrm{d}\left(\sqrt{1-x^{2}}\right)$ ．

2．求下列不定积分（其中 $a, b, \omega, \varphi$ 均为常数）： （1） $\displaystyle{\int} \mathrm{e}^{5 t} \mathrm{~d} t$ ； （2） $\displaystyle{\int}(3-2 x)^{3} \mathrm{~d} x$ ； （3） $\displaystyle{\int} \frac{\mathrm{d} x}{1-2 x}$ ； （4） $\displaystyle{\int} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt[3]{2-3 x}}$ ； （5） $\displaystyle{\int}\left(\sin a x-\mathrm{e}^{\frac{x}{b}}\right) \mathrm{d} x$ ； （6） $\displaystyle{\int} \frac{\sin \sqrt{t}}{\sqrt{t}} \mathrm{~d} t$ ； （7） $\displaystyle{\int} x \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{~d} x$ ； （8） $\displaystyle{\int} x \cos \left(x^{2}\right) \mathrm{d} x$ ； （9） $\displaystyle{\int} \frac{x}{\sqrt{2-3 x^{2}}} \mathrm{~d} x$ ； （10） $\displaystyle{\int} \frac{3 x^{3}}{1-x^{4}} \mathrm{~d} x$ ； （11） $\displaystyle{\int} \frac{x+1}{x^{2}+2 x+5} \mathrm{~d} x$ ； （12） $\displaystyle{\int} \cos ^{2}(\omega t+\varphi) \sin (\omega t+\varphi) \mathrm{d} t$ ； （13） $\displaystyle{\int} \frac{\sin x}{\cos ^{3} x} \mathrm{~d} x$ ； （14） $\displaystyle{\int} \frac{\sin x+\cos x}{\sqrt[3]{\sin x-\cos x}} \mathrm{~d} x$ ； （15） $\displaystyle{\int} \tan ^{10} x \cdot \sec ^{2} x \mathrm{~d} x$ ； （16） $\displaystyle{\int} \frac{\mathrm{d} x}{x \ln x \ln \ln x}$ ； （17） $\displaystyle{\int} \frac{\mathrm{d} x}{(\arcsin x)^{2} \sqrt{1-x^{2}}}$ ； （18） $\displaystyle{\int} \frac{10^{2 \arccos x}}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x$ ； （19） $\displaystyle{\int} \tan \sqrt{1+x^{2}} \cdot \frac{x \mathrm{~d} x}{\sqrt{1+x^{2}}}$ ； （20） $\displaystyle{\int} \frac{\arctan \sqrt{x}}{\sqrt{x}(1+x)} \mathrm{d} x$ ； （21） $\displaystyle{\int} \frac{1+\ln x}{(x \ln x)^{2}} \mathrm{~d} x$ ； （22） $\displaystyle{\int} \frac{\mathrm{d} x}{\sin x \cos x}$ ； （23） $\displaystyle{\int} \frac{\ln \tan x}{\cos x \sin x} \mathrm{~d} x$ ； （24） $\displaystyle{\int} \cos ^{3} x \mathrm{~d} x$ ； （25） $\displaystyle{\int} \cos ^{2}(\omega t+\varphi) \mathrm{d} t$ ； （26） $\displaystyle{\int} \sin 2 x \cos 3 x \mathrm{~d} x$ ； （27） $\displaystyle{\int} \cos x \cos \frac{x}{2} \mathrm{~d} x$ ； （28） $\displaystyle{\int} \sin 5 x \sin 7 x \mathrm{~d} x$ ； （29） $\displaystyle{\int} \tan ^{3} x \sec x \mathrm{~d} x$ ； （30） $\displaystyle{\int} \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}}$ ； （31） $\displaystyle{\int} \frac{1-x}{\sqrt{9-4 x^{2}}} \mathrm{~d} x$ ； （32） $\displaystyle{\int} \frac{x^{3}}{9+x^{2}} \mathrm{~d} x$ ； （33） $\displaystyle{\int} \frac{\mathrm{d} x}{2 x^{2}-1}$ ； （34） $\displaystyle{\int} \frac{\mathrm{d} x}{(x+1)(x-2)}$ ； （35） $\displaystyle{\int} \frac{x}{x^{2}-x-2} \mathrm{~d} x$ ； （36） $\displaystyle{\int} \frac{x^{2} \mathrm{~d} x}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}(a\gt 0)$ ； （37） $\displaystyle{\int} \frac{\mathrm{d} x}{x \sqrt{x^{2}-1}}$ ； （38） $\displaystyle{\int} \frac{d x}{\sqrt{\left(x^{2}+1\right)^{3}}}$ ； （39） $\displaystyle{\int} \frac{\sqrt{x^{2}-9}}{x} \mathrm{~d} x$ ； （40） $\displaystyle{\int} \frac{\mathrm{d} x}{1+\sqrt{2 x}}$ ； （41） $\displaystyle{\int} \frac{\mathrm{d} x}{1+\sqrt{1-x^{2}}}$ ； （42） $\displaystyle{\int} \frac{\mathrm{d} x}{x+\sqrt{1-x^{2}}}$ ； （43） $\displaystyle{\int} \frac{x-1}{x^{2}+2 x+3} \mathrm{~d} x$ ； （44） $\displaystyle{\int} \frac{x^{3}+1}{\left(x^{2}+1\right)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．