习题5-1

10．估计下列各积分的值： （1） $\displaystyle{\int}_{1}^{4}\left(x^{2}+1\right) \mathrm{d} x$ ； （2） $\displaystyle{\int}_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5}{4} \pi}\left(1+\sin ^{2} x\right) \mathrm{d} x$ ； （3） $\displaystyle{\int}_{\frac{1}{\sqrt{3}}}^{\sqrt{3}} x \arctan x \mathrm{~d} x$ ； （4） $\displaystyle{\int}_{2}^{0} \mathrm{e}^{x^{2}-x} \mathrm{~d} x$ ．

11．设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，证明 $\displaystyle{\int}_{0}^{1} f^{2}(x) \mathrm{d} x \geqslant\left[\displaystyle{\int}_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\right]^{2}$ ．

12．设 $f(x)$ 及 $g(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，证明： （1）若在 $[a, b]$ 上，$f(x) \geqslant 0$ ，且 $f(x) \not \equiv 0$ ，则 $\displaystyle{\int}_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\gt 0$ ； （2）若在 $[a, b]$ 上，$f(x) \geqslant 0$ ，且 $\displaystyle{\int}_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=0$ ，则在 $[a, b]$ 上 $f(x) \equiv 0$ ； （3）若在 $[a, b]$ 上，$f(x) \leqslant g(x)$ ，且 $\displaystyle{\int}_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\displaystyle{\int}_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x$ ，则在 $[a, b]$ 上 $f(x) \equiv g(x)$ ．

13．根据定积分的性质及第 12 题的结论，说明下列各对积分中哪一个的值较大： （1） $\displaystyle{\int}_{0}^{1} x^{2} \mathrm{~d} x$ 还是 $\displaystyle{\int}_{0}^{1} x^{3} \mathrm{~d} x$ ？ （2） $\displaystyle{\int}_{1}^{2} x^{2} \mathrm{~d} x$ 还是 $\displaystyle{\int}_{1}^{2} x^{3} \mathrm{~d} x$ ？ （3） $\displaystyle{\int}_{1}^{2} \ln x \mathrm{~d} x$ 还是 $\displaystyle{\int}_{1}^{2}(\ln x)^{2} \mathrm{~d} x$ ？ （4） $\displaystyle{\int}_{0}^{1} x \mathrm{~d} x$ 还是 $\displaystyle{\int}_{0}^{1} \ln (1+x) \mathrm{d} x$ ？ （5） $\displaystyle{\int}_{0}^{1} \mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} x$ 还是 $\displaystyle{\int}_{0}^{1}(1+x) \mathrm{d} x$ ？ \s

3．利用定积分的几何意义，证明下列等式： （1） $\displaystyle{\int}_{0}^{1} 2 x \mathrm{~d} x=1$ ； （2） $\displaystyle{\int}_{0}^{1} \sqrt{1-x^{2}} \mathrm{~d} x=\frac{\pi}{4}$ ； （3） $\displaystyle{\int}_{-\pi}^{\pi} \sin x \mathrm{~d} x=0$ ； （4） $\displaystyle{\int}_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \mathrm{~d} x=2 \displaystyle{\int}_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \mathrm{~d} x$ ．

4．利用定积分的几何意义，求下列积分： （1） $\displaystyle{\int}_{0}^{t} x \mathrm{~d} x(t\gt 0)$ ； （2） $\displaystyle{\int}_{-2}^{4}\left(\frac{x}{2}+3\right) \mathrm{d} x$ ； （3） $\displaystyle{\int}_{-1}^{2}|x| \mathrm{d} x$ ； （4） $\displaystyle{\int}_{-3}^{3} \sqrt{9-x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．

5．设 $a\lt b$ ，问 $a, b$ 取什么值时，积分 $\displaystyle{\int}_{a}^{b}\left(x-x^{2}\right) \mathrm{d} x$ 取得最大值？

6．试从定积分的几何意义，说明以下等式成立： $$ \displaystyle{\int}_{1}^{e} \ln x \mathrm{~d} x+\displaystyle{\int}_{0}^{1} \mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} x=\mathrm{e} $$

7．已知 $\ln 2=\displaystyle{\int}_{0}^{1} \frac{1}{1+x} \mathrm{~d} x$ ，试用抛物线法公式（1－6），求出 $\ln 2$ 的近似值（取 $n=10$ ，计算时取 4位小数）．

8．设 $\displaystyle{\int}_{-1}^{1} 3 f(x) \mathrm{d} x=18, \displaystyle{\int}_{-1}^{3} f(x) \mathrm{d} x=4, \displaystyle{\int}_{-1}^{3} g(x) \mathrm{d} x=3$ ．求： （1） $\displaystyle{\int}_{-1}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ ； （2） $\displaystyle{\int}_{1}^{3} f(x) \mathrm{d} x$ ； （3） $\displaystyle{\int}_{3}^{-1} g(x) \mathrm{d} x$ ； （4） $\displaystyle{\int}_{-1}^{3} \frac{1}{5}[4 f(x)+3 g(x)] \mathrm{d} x$ ．

9．证明定积分的性质： （1） $\displaystyle{\int}_{a}^{b} k f(x) \mathrm{d} x=k \displaystyle{\int}_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$（ $k$ 是常数）； （2） $\displaystyle{\int}_{a}^{b} 1 \cdot \mathrm{~d} x=\displaystyle{\int}_{a}^{b} \mathrm{~d} x=b-a$ ．

＊1．利用定积分的定义计算由抛物线 $y=x^{2}+1$ 、两直线 $x=a 、 x=b(b\gt a)$ 及 $x$ 轴所围成的图形的面积．

＊2．利用定积分的定义计算下列积分： （1） $\displaystyle{\int}_{a}^{b} x \mathrm{~d} x(a\lt b)$ ； （2） $\displaystyle{\int}_{0}^{1} \mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} x$ ．