习题5-2

1．试求函数 $y=\displaystyle{\int}_{0}^{x} \sin t \mathrm{~d} t$ 当 $x=0$ 及 $x=\frac{\pi}{4}$ 时的导数．

10．设 $k \in \mathbf{N}_{+}$．试证下列各题： （1） $\displaystyle{\int}_{-\pi}^{\pi} \cos k x \mathrm{~d} x=0$ ； （2） $\displaystyle{\int}_{-\pi}^{\pi} \sin k x \mathrm{~d} x=0$ ； （3） $\displaystyle{\int}_{-\pi}^{\pi} \cos ^{2} k x \mathrm{~d} x=\pi$ ； （4） $\displaystyle{\int}_{-\pi}^{\pi} \sin ^{2} k x \mathrm{~d} x=\pi$ ．

11．设 $k, l \in \mathbf{N}_{+}$，且 $k \neq l$ ．证明： （1） $\displaystyle{\int}_{-\pi}^{\pi} \cos k x \sin l x \mathrm{~d} x=0$ ； （2） $\displaystyle{\int}_{-\pi}^{\pi} \cos k x \cos l x \mathrm{~d} x=0$ ； （3） $\displaystyle{\int}_{-\pi}^{\pi} \sin k x \sin l x \mathrm{~d} x=0$ ．

12．求下列极限： （1） $\displaystyle{\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\displaystyle{\int}_{0}^{x} \cos t^{2} d t}{x}$ ； （2） $\displaystyle{\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(\displaystyle{\int}_{0}^{x} e^{t^{2}} d t\right)^{2}}{\displaystyle{\int}_{0}^{x} t e^{2 t^{2}} d t}$ ．

13．设 $$ f(x)= \begin{cases}x^{2}, & x \in[0,1), \\ x, & x \in[1,2] .\end{cases} $$ 求 $\Phi(x)=\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 在 $[0,2]$ 上的表达式，并讨论 $\Phi(x)$ 在 $(0,2)$ 内的连续性．

14．设 $$ f(x)= \begin{cases}\frac{1}{2} \sin x, & 0 \leqslant x \leqslant \pi, \\ 0, & x\lt 0 \text { 或 } x\gt \pi .\end{cases} $$ 求 $\Phi(x)=\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内的表达式．

15．设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导且 $f^{\prime}(x) \leqslant 0$ ， $$ F(x)=\frac{1}{x-a} \displaystyle{\int}_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t $$ 证明在 $(a, b)$ 内有 $F^{\prime}(x) \leqslant 0$ ．

16．以下积分上限的函数： $$ S(x)=\displaystyle{\int}_{0}^{x} \sin \frac{\pi t^{2}}{2} \mathrm{~d} t, \quad x \in(-\infty,+\infty) $$ 称为菲涅耳（Fresnel）积分，在光学中有重要应用． （1）证明：$S(x)$ 为奇函数； （2）求出 $S(x)$ 的极小值点．

17．设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 内连续，且 $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow+\infty} f(x)=1$ ．证明函数 $$ y=\mathrm{e}^{-x} \displaystyle{\int}_{0}^{x} \mathrm{e}^{t} f(t) \mathrm{d} t $$ 满足方程 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+y=f(x)$ ，并求 $\lim _{x \rightarrow+\infty} y(x)$ ．

2．求由参数表达式 $x=\displaystyle{\int}_{0}^{t} \sin u \mathrm{~d} u, y=\displaystyle{\int}_{0}^{t} \cos u \mathrm{~d} u$ 所确定的函数对 $x$ 的导数 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$ ．

3．求由 $\displaystyle{\int}_{0}^{y} \mathrm{e}^{t} \mathrm{~d} t+\displaystyle{\int}_{0}^{x} \cos t \mathrm{~d} t=0$ 所确定的隐函数对 $x$ 的导数 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$ ．

4．当 $x$ 为何值时，函数 $I(x)=\displaystyle{\int}_{0}^{x} t \mathrm{e}^{-t^{2}} \mathrm{~d} t$ 有极值？

5．计算下列各导数： （1）$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \displaystyle{\int}_{0}^{x^{2}} \sqrt{1+t^{2}} \mathrm{~d} t$ ； （2）$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \displaystyle{\int}_{x^{2}}^{x^{3}} \frac{\mathrm{~d} t}{\sqrt{1+t^{4}}}$ ； （3）$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \displaystyle{\int}_{\sin x}^{\cos x} \cos \left(\pi t^{2}\right) \mathrm{d} t$ ．

6．证明 $f(x)=\displaystyle{\int}_{1}^{x} \sqrt{1+t^{3}} \mathrm{~d} t$ 在 $[-1,+\infty)$ 上是单调增加函数，并求 $\left(f^{-1}\right)^{\prime}(0)$ ．

7．设 $f(x)=\displaystyle{\int}_{0}^{*}\left(\displaystyle{\int}_{\sin t}^{1} \sqrt{1+u^{4}} \mathrm{~d} u\right) \mathrm{d} t$ ，求 $f^{\prime \prime}\left(\frac{\pi}{3}\right)$ ．

8．设 $f(x)$ 具有三阶连续导数，$y=f(x)$ 的图形如图 5－8所示。问下列积分中的哪一个积分值为负？ （A） $\displaystyle{\int}_{-1}^{3} f(x) \mathrm{d} x$ （B） $\displaystyle{\int}_{-1}^{3} f^{\prime}(x) \mathrm{d} x$ （C） $\displaystyle{\int}_{-1}^{3} f^{\prime \prime}(x) \mathrm{d} x$ （D） $\displaystyle{\int}_{-1}^{3} f^{\prime \prime \prime}(x) \mathrm{d} x$ <img src="/static/img/textbook/d7f0b535cd07.jpg" style="max-width:100%;height:auto;">

9．计算下列各定积分： （1） $\displaystyle{\int}_{0}^{a}\left(3 x^{2}-x+1\right) \mathrm{d} x$ ； （2） $\displaystyle{\int}_{1}^{2}\left(x^{2}+\frac{1}{x^{4}}\right) \mathrm{d} x$ ； （3） $\displaystyle{\int}_{4}^{9} \sqrt{x}(1+\sqrt{x}) \mathrm{d} x$ ； （4） $\displaystyle{\int}_{\frac{1}{\sqrt{3}}}^{\sqrt{3}} \frac{\mathrm{~d} x}{1+x^{2}}$ ； （5） $\displaystyle{\int}_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\mathrm{~d} x}{\sqrt{1-x^{2}}}$ ； （6） $\displaystyle{\int}_{0}^{\sqrt{3} a} \frac{\mathrm{~d} x}{a^{2}+x^{2}}$ ； （7） $\displaystyle{\int}_{0}^{1} \frac{\mathrm{~d} x}{\sqrt{4-x^{2}}}$ ； （8） $\displaystyle{\int}_{-1}^{0} \frac{3 x^{4}+3 x^{2}+1}{x^{2}+1} \mathrm{~d} x$ ； （9） $\displaystyle{\int}_{-e-1}^{-2} \frac{d x}{1+x}$ ； （10） $\displaystyle{\int}_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan ^{2} \theta \mathrm{~d} \theta$ ； （11） $\displaystyle{\int}_{0}^{2 \pi}|\sin x| \mathrm{d} x$ ； （12） $\displaystyle{\int}_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x$ ，其中 $f(x)= \begin{cases}x+1, & x \leqslant 1, \\ \frac{1}{2} x^{2}, & x\gt 1 .\end{cases}$