习题5-3

1．计算下列定积分： （1） $\displaystyle{\int}_{\frac{\pi}{3}}^{\pi} \sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right) \mathrm{d} x$ ； （2） $\displaystyle{\int}_{-2}^{1} \frac{\mathrm{~d} x}{(11+5 x)^{3}}$ ； （3） $\displaystyle{\int}_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin \varphi \cos ^{3} \varphi \mathrm{~d} \varphi$ ； （4） $\displaystyle{\int}_{0}^{\pi}\left(1-\sin ^{3} \theta\right) \mathrm{d} \theta$ ； （5） $\displaystyle{\int}_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^{2} u \mathrm{~d} u$ ； （6） $\displaystyle{\int}_{0}^{\sqrt{2}} \sqrt{2-x^{2}} \mathrm{~d} x$ ； （7） $\displaystyle{\int}_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \sqrt{8-2 y^{2}} \mathrm{~d} y$ ； （8） $\displaystyle{\int}_{\frac{1}{\sqrt{2}}}^{1} \frac{\sqrt{1-x^{2}}}{x^{2}} \mathrm{~d} x$ ； （9） $\displaystyle{\int}_{0}^{a} x^{2} \sqrt{a^{2}-x^{2}} \mathrm{~d} x(a\gt 0)$ ； （10） $\displaystyle{\int}_{1}^{\sqrt{3}} \frac{\mathrm{~d} x}{x^{2} \sqrt{1+x^{2}}}$ ； （11） $\displaystyle{\int}_{-1}^{1} \frac{x \mathrm{~d} x}{\sqrt{5-4 x}}$ ； （12） $\displaystyle{\int}_{1}^{4} \frac{\mathrm{~d} x}{1+\sqrt{x}}$ ； （13） $\displaystyle{\int}_{\frac{3}{4}}^{1} \frac{\mathrm{~d} x}{\sqrt{1-x}-1}$ ； （14） $\displaystyle{\int}_{0}^{\sqrt{2} a} \frac{x \mathrm{~d} x}{\sqrt{3 a^{2}-x^{2}}}(a\gt 0)$ ； （15） $\displaystyle{\int}_{0}^{1} t \mathrm{e}^{-\frac{t^{2}}{2}} \mathrm{~d} t$ ； （16） $\displaystyle{\int}_{1}^{\mathrm{e}^{2}} \frac{\mathrm{~d} x}{x \sqrt{1+\ln x}}$ ； （17） $\displaystyle{\int}_{-2}^{0} \frac{(x+2) \mathrm{d} x}{x^{2}+2 x+2}$ ； （18） $\displaystyle{\int}_{0}^{2} \frac{x \mathrm{~d} x}{\left(x^{2}-2 x+2\right)^{2}}$ ； （19） $\displaystyle{\int}_{-\pi}^{\pi} x^{4} \sin x \mathrm{~d} x$ ； （20） $\displaystyle{\int}_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 4 \cos ^{4} \theta \mathrm{~d} \theta$ ； （21） $\displaystyle{\int}_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{(\arcsin x)^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x$ ； （22） $\displaystyle{\int}_{-5}^{5} \frac{x^{3} \sin ^{2} x}{x^{4}+2 x^{2}+1} \mathrm{~d} x$ ； （23） $\displaystyle{\int}_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \cos 2 x \mathrm{~d} x$ ； （24） $\displaystyle{\int}_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\cos x-\cos ^{3} x} \mathrm{~d} x$ ； （25） $\displaystyle{\int}_{0}^{\pi} \sqrt{1+\cos 2 x} \mathrm{~d} x$ ； （26） $\displaystyle{\int}_{0}^{2 \pi}|\sin (x+1)| d x$ ．

2．设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，证明： $$ \displaystyle{\int}_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\displaystyle{\int}_{a}^{b} f(a+b-x) \mathrm{d} x $$

3．证明： $\displaystyle{\int}_{x}^{1} \frac{\mathrm{~d} t}{1+t^{2}}=\displaystyle{\int}_{1}^{\frac{1}{x}} \frac{\mathrm{~d} t}{1+t^{2}}(x\gt 0)$ ．

4．证明： $\displaystyle{\int}_{0}^{1} x^{m}(1-x)^{n} \mathrm{~d} x=\displaystyle{\int}_{0}^{1} x^{n}(1-x)^{m} \mathrm{~d} x \quad(m, n \in \mathbf{N})$ ．

5．设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，$n \in \mathbf{Z}$ ，证明： $$ \displaystyle{\int}_{\frac{n}{2} \pi}^{\frac{n+1}{2} \pi} f(|\sin x|) \mathrm{d} x=\displaystyle{\int}_{\frac{n}{2} \pi}^{\frac{n+1}{2} \pi} f(|\cos x|) \mathrm{d} x=\displaystyle{\int}_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) \mathrm{d} x $$

6．若 $f(t)$ 是连续的奇函数，证明 $\displaystyle{\int}_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 是偶函数；若 $f(t)$ 是连续的偶函数，证明 $\displaystyle{\int}_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 是奇函数．

7．设 $x=\varphi(y)$ 是单调函数 $y=x \mathrm{e}^{x^{2}}$ 的反函数，求 $\displaystyle{\int}_{0}^{\mathrm{e}} \varphi(y) \mathrm{d} y$ ．

8．计算下列定积分： （1） $\displaystyle{\int}_{0}^{1} x \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d} x$ ； （2） $\displaystyle{\int}_{1}^{e} x \ln x \mathrm{~d} x$ ； （3） $\displaystyle{\int}_{0}^{\frac{2 \pi}{\omega}} t \sin \omega t \mathrm{~d} t$（ $\omega$ 为常数）； （4） $\displaystyle{\int}_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{x}{\sin ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ； （5） $\displaystyle{\int}_{1}^{4} \frac{\ln x}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x$ ； （6） $\displaystyle{\int}_{0}^{1} x \arctan x \mathrm{~d} x$ ； （7） $\displaystyle{\int}_{0}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{e}^{2 x} \cos x \mathrm{~d} x$ ； （8） $\displaystyle{\int}_{1}^{2} x \log _{2} x \mathrm{~d} x$ ； （9） $\displaystyle{\int}_{0}^{\pi}(x \sin x)^{2} \mathrm{~d} x$ ； （10） $\displaystyle{\int}_{1}^{e} \sin (\ln x) \mathrm{d} x$ ； （11） $\displaystyle{\int}_{\frac{1}{\mathrm{e}}}^{\mathrm{e}}|\ln x| \mathrm{d} x$ ； （12） $\displaystyle{\int}_{0}^{1}\left(1-x^{2}\right)^{\frac{m}{2}} \mathrm{~d} x\left(m \in \mathbf{N}_{+}\right)$； （13）$J_{m}=\displaystyle{\int}_{0}^{\pi} x \sin ^{m} x \mathrm{~d} x\left(m \in \mathbf{N}_{+}\right)$．