习题5-4

1．判定下列各反常积分的收敛性，如果收敛，计算反常积分的值： （1） $\displaystyle{\int}_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x^{4}}$ ； （2） $\displaystyle{\int}_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x}}$ ； （3） $\displaystyle{\int}_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-a x} \mathrm{~d} x(a\gt 0)$ ； （4） $\displaystyle{\int}_{0}^{+\infty} \frac{d x}{(1+x)\left(1+x^{2}\right)}$ ； （5） $\displaystyle{\int}_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-p t} \sin \omega t \mathrm{~d} t \quad(p\gt 0, \omega\gt 0)$ ； （6） $\displaystyle{\int}_{-\infty}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x^{2}+2 x+2}$ ； （7） $\displaystyle{\int}_{0}^{1} \frac{x \mathrm{~d} x}{\sqrt{1-x^{2}}}$ ； （8） $\displaystyle{\int}_{0}^{2} \frac{\mathrm{~d} x}{(1-x)^{2}}$ ； （9） $\displaystyle{\int}_{1}^{2} \frac{x \mathrm{~d} x}{\sqrt{x-1}}$ ； （10） $\displaystyle{\int}_{1}^{\mathrm{e}} \frac{\mathrm{d} x}{x \sqrt{1-(\ln x)^{2}}}$ ．

2．求由曲线 $y=\frac{1}{4 x^{2}-1} 、 x$ 轴和直线 $x=1$ 所围成的向右无限延伸的图形的面积．

3．当 $k$ 为何值时，反常积分 $\displaystyle{\int}_{2}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x(\ln x)^{k}}$ 收敛？当 $k$ 为何值时，该反常积分发散？又当 $k$ 为何值时，该反常积分取得最小值？

4．利用递推公式计算反常积分 $I_{n}=\displaystyle{\int}_{0}^{+\infty} x^{n} \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d} x(n \in \mathbf{N})$ ．

5．计算反常积分 $\displaystyle{\int}_{0}^{1} \ln x \mathrm{~d} x$ ．