习题5-5

1．判定下列反常积分的收敛性： （1） $\displaystyle{\int}_{0}^{+\infty} \frac{x^{2}}{x^{4}+x^{2}+1} \mathrm{~d} x$ ； （2） $\displaystyle{\int}_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x \sqrt[3]{x^{2}+1}}$ ； （3） $\displaystyle{\int}_{1}^{+\infty} \sin \frac{1}{x^{2}} \mathrm{~d} x$ ； （4） $\displaystyle{\int}_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{1+x|\sin x|}$ ； （5） $\displaystyle{\int}_{1}^{+\infty} \frac{x \arctan x}{1+x^{3}} \mathrm{~d} x$ ； （6） $\displaystyle{\int}_{1}^{2} \frac{\mathrm{~d} x}{(\ln x)^{3}}$ ； （7） $\displaystyle{\int}_{0}^{1} \frac{x^{4}}{\sqrt{1-x^{4}}} \mathrm{~d} x$ ； （8） $\displaystyle{\int}_{1}^{2} \frac{d x}{\sqrt[3]{x^{2}-3 x+2}}$ ．

2．设反常积分 $\displaystyle{\int}_{1}^{+\infty} f^{2}(x) \mathrm{d} x$ 收敛，证明反常积分 $\displaystyle{\int}_{1}^{+\infty} \frac{f(x)}{x} \mathrm{~d} x$ 绝对收敛．

3．用 $\Gamma$ 函数表示下列积分，并指出这些积分的收敛范围： （1） $\displaystyle{\int}_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^{n}} \mathrm{~d} x(n\gt 0)$ ； （2） $\displaystyle{\int}_{0}^{1}\left(\ln \frac{1}{x}\right)^{p} \mathrm{~d} x$ ； （3） $\displaystyle{\int}_{0}^{+\infty} x^{m} \mathrm{e}^{-x^{n}} \mathrm{~d} x(n \neq 0)$ ．

4．证明 $\Gamma\left(\frac{2 k+1}{2}\right)=\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cdots \cdot(2 k-1) \sqrt{\pi}}{2^{k}}$ ，其中 $k \in \mathbf{N}_{+}$．

5．证明以下各式（其中 $n \in \mathbf{N}_{+}$）： （1） $2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cdots \cdot 2 n=2^{n} \Gamma(n+1)$ ； （2） $1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cdots \cdot(2 n-1)=\frac{\Gamma(2 n)}{2^{n-1} \Gamma(n)}$ ； （3）$\sqrt{\pi} \Gamma(2 n)=2^{2 n-1} \Gamma(n) \Gamma\left(n+\frac{1}{2}\right)$（勒让德（Legendre）倍量公式）．