习题6-2
6-2-1
📝 有解析
第6-2-1题
1．求图 6－20 中各阴影部分的面积．
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6-2-10
📝 有解析
第6-2-10题
10．求位于曲线 $y=\mathrm{e}^{x}$ 下方、该曲线过原点的切线的左方以及 $x$ 轴上方之间的图形的面积．
6-2-11
📝 有解析
第6-2-11题
11．在区间 $[1, \mathrm{e}]$ 上求一点 $\xi$ ，使得图 6－21 中所示的阴影部分的面积最小．
6-2-12
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第6-2-12题
12．已知抛物线 $y=p x^{2}+q x$（其中 $p\lt 0, q\gt 0$ ）在第一象限内与直线 $x+y=5$ 相切，且此拋物线与 $x$轴所围成的图形的面积为 $A$ ．问 $p$ 和 $q$ 为何值时，$A$ 达到最大值，并求出此最大值．
6-2-13
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第6-2-13题
13．由 $y=x^{3}, x=2, y=0$ 所围成的图形分别绕 $x$ 轴及 $y$ 轴旋转，计算所得两个旋转体的体积．
6-2-14
📝 有解析
第6-2-14题
14．把星形线 $x^{2 / 3}+y^{2 / 3}=a^{2 / 3}$ 所围成的图形绕 $x$ 轴旋转（图6－22），计算所得旋转体的体积．
6-2-15
📝 有解析
第6-2-15题
15．用积分方法证明图 6－23 中球缺的体积为
$$
V=\pi H^{2}\left(R-\frac{H}{3}\right) .
$$
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6-2-16
📝 有解析
第6-2-16题
16．求下列已知曲线所围成的图形按指定的轴旋转所产生的旋转体的体积：
（1）$y=x^{2}, x=y^{2}$ ，绕 $y$ 轴；
（2）$y=\arcsin x, x=1, y=0$ ，绕 $x$ 轴；
（3）$x^{2}+(y-5)^{2}=16$ ，绕 $x$ 轴；
（4）摆线 $x=a(t-\sin t), y=a(1-\cos t)$ 的一拱，$y=0$ ，绕直线 $y=2 a$ ．
6-2-17
📝 有解析
第6-2-17题
17．求圆盘 $x^{2}+y^{2} \leqslant a^{2}$ 绕 $x=-b(b\gt a\gt 0)$ 旋转所成旋转体的体积．
6-2-18
📝 有解析
第6-2-18题
18．设有一截锥体，其高为 $h$ ，上、下底均为椭圆，椭圆的轴长分别为 $2 a, 2 b$ 和 $2 A, 2 B$ ，求这截锥体的体积．
6-2-19
📝 有解析
第6-2-19题
19．计算底面是半径为 $R$ 的圆，而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形的立体体积（图6－24）。
6-2-2
📝 有解析
第6-2-2题
2．求由下列各组曲线所围成的图形的面积：
（1）$y=\frac{1}{2} x^{2} 与 x^{2}+y^{2}=8$（两部分都要计算）；
（2）$y=\frac{1}{x}$ 与直线 $y=x$ 及 $x=2$ ；
（3）$y=\mathrm{e}^{x}, y=\mathrm{e}^{-x}$ 与直线 $x=1$ ；
（4）$y=\ln x, y$ 轴与直线 $y=\ln a, y=\ln b(b\gt a\gt 0)$ ．
6-2-20
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第6-2-20题
20．证明：由平面图形 $0 \leqslant a \leqslant x \leqslant b, 0 \leqslant y \leqslant f(x)$ 绕 $y$ 轴旋转所成的旋转体的体积为
$$
V=2 \pi \displaystyle{\int}_{a}^{b} x f(x) \mathrm{d} x
$$
6-2-21
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第6-2-21题
21．利用题 20 的结论和方法，计算曲线 $y=\sin x(0 \leqslant x \leqslant \pi)$ 和 $x$ 轴所围成的图形按下列方式所得旋转体的体积：
（1）绕 $y$ 轴旋转；
（2）绕直线 $x=-\pi$ 旋转．
6-2-22
📝 有解析
第6-2-22题
22．设由抛物线 $y=2 x^{2}$ 和直线 $x=a, x=2$ 及 $y=0$ 所围成的平面图形为 $D_{1}$ ，由抛物线 $y=2 x^{2}$ 和直线 $x=a$ 及 $y=0$ 所围成的平面图形为 $D_{2}$ ，其中 $0\lt a\lt 2$（图6－25）．
（1）试求 $D_{1}$ 绕 $x$ 轴旋转而成的旋转体体积 $V_{1}, D_{2}$ 绕 $y$ 轴旋转而成的旋转体体积 $V_{2}$ ；
（2）问当 $a$ 为何值时，$V_{1}+V_{2}$ 取得最大值？试求此最大值．
6-2-23
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第6-2-23题
23．计算曲线 $y=\ln x$ 上相应于 $\sqrt{3} \leqslant x \leqslant 2 \sqrt{2}$ 的一段弧的长度．
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6-2-24
📝 有解析
第6-2-24题
24．计算半立方抛物线 $y^{2}=\frac{2}{3}(x-1)^{3}$ 被抛物线 $y^{2}=\frac{x}{3}$ 截得的一段弧的长度．
6-2-25
📝 有解析
第6-2-25题
25．计算抛物线 $y^{2}=2 p x(p\gt 0)$ 从顶点到这曲线上的一点 $M(x, y)$ 的弧长．
6-2-26
📝 有解析
第6-2-26题
26．计算星形线 $x=a \cos ^{3} t, y=a \sin ^{3} t$（图6－26）的全长．
6-2-27
📝 有解析
第6-2-27题
27．将绕在圆（半径为 $a$ ）上的细线放开拉直，使细线与圆周始终相切（图 6－27），细线端点画出的轨迹叫做圆的渐伸线，它的方程为
$$
x=a(\cos t+t \sin t), y=a(\sin t-t \cos t) .
$$
计算该曲线上相应于 $0 \leqslant t \leqslant \pi$ 的一段弧的长度．
<img src="/static/img/textbook/74b49723f877.jpg" style="max-width:100%;height:auto;">
<img src="/static/img/textbook/ee012d77532e.jpg" style="max-width:100%;height:auto;">
6-2-28
📝 有解析
第6-2-28题
28．在摆线 $x=a(t-\sin t), y=a(1-\cos t)$ 上求分摆线第一拱成 $1: 3$ 的点的坐标．
6-2-29
📝 有解析
第6-2-29题
29．求对数螺线 $\rho=\mathrm{e}^{a \theta}$ 相应于 $0 \leqslant \theta \leqslant \varphi$ 的一段弧长．
6-2-3
📝 有解析
第6-2-3题
3．求抛物线 $y=-x^{2}+4 x-3$ 及其在点 $(0,-3)$ 和 $(3,0)$ 处的切线所围成的图形的面积．
6-2-30
📝 有解析
第6-2-30题
30．求曲线 $\rho \theta=1$ 相应于 $\frac{3}{4} \leqslant \theta \leqslant \frac{4}{3}$ 的一段弧长．
6-2-4
📝 有解析
第6-2-4题
4．求抛物线 $y^{2}=2 p x$ 及其在点 $\left(\frac{p}{2}, p\right)$ 处的法线所围成的图形的面积．
6-2-5
📝 有解析
第6-2-5题
5．试求 $a, b$ 的值，使得由曲线 $y=\cos x\left(0 \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{2}\right)$ 与两坐标轴所围成的图形的面积被曲线 $y=a \sin x$ 与 $y=b \sin x$ 三等分．
6-2-6
📝 有解析
第6-2-6题
6．求由下列各曲线所围成的图形的面积：
（1）$\rho=2 a \cos \theta$ ；
（2）$x=a \cos ^{3} t, y=a \sin ^{3} t$ ；
（3）$\rho=2 a(2+\cos \theta)$ ．
6-2-7
📝 有解析
第6-2-7题
7．求由摆线 $x=a(t-\sin t), y=a(1-\cos t)$ 的一拱 $(0 \leqslant t \leqslant 2 \pi)$ 与横轴所围成的图形的面积．
6-2-8
📝 有解析
第6-2-8题
8．求对数螺线 $\rho=a \mathrm{e}^{\theta}(-\pi \leqslant \theta \leqslant \pi)$ 及射线 $\theta=\pi$ 所围成的图形的面积．
6-2-9
📝 有解析
第6-2-9题
9．求下列各曲线所围成图形的公共部分的面积：
（1）$\rho=3 \cos \theta$ 及 $\rho=1+\cos \theta$ ；
（2）$\rho=\sqrt{2} \sin \theta$ 及 $\rho^{2}=\cos 2 \theta$ ．