习题7-1

1．试说出下列各微分方程的阶数： （1）$x\left(y^{\prime}\right)^{2}-2 y y^{\prime}+x=0$ ； （2）$x^{2} y^{\prime \prime}-x y^{\prime}+y=0$ ； （3）$x y^{\prime \prime \prime}+2 y^{\prime \prime}+x^{2} y=0$ ； （4）$(7 x-6 y) \mathrm{d} x+(x+y) \mathrm{d} y=0$ ； （5）$L \frac{\mathrm{~d}^{2} Q}{\mathrm{~d} t^{2}}+R \frac{\mathrm{~d} Q}{\mathrm{~d} t}+\frac{Q}{C}=0$ ； （6）$\frac{\mathrm{d} \rho}{\mathrm{d} \theta}+\rho=\sin ^{2} \theta$ ．

2．指出下列各题中的函数是不是所给微分方程的解： （1）$x y^{\prime}=2 y, y=5 x^{2}$ ； （2）$y^{\prime \prime}+y=0, y=3 \sin x-4 \cos x$ ； （3）$y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=0, y=x^{2} \mathrm{e}^{x}$ ； （4）$y^{\prime \prime}-\left(\lambda_{1}+\lambda_{2}\right) y^{\prime}+\lambda_{1} \lambda_{2} y=0, y=C_{1} \mathrm{e}^{\lambda_{1} x}+C_{2} \mathrm{e}^{\lambda_{2} x}$ ．

3．在下列各题中，验证所给二元方程所确定的函数为所给微分方程的解： （1）$(x-2 y) y^{\prime}=2 x-y, x^{2}-x y+y^{2}=C$ ； （2）$(x y-x) y^{\prime \prime}+x y^{\prime 2}+y y^{\prime}-2 y^{\prime}=0, y=\ln (x y)$ ．

4．在下列各题中，确定函数关系式中所含的参数，使函数满足所给的初值条件： （1）$x^{2}-y^{2}=C,\left.y\right|_{x=0}=5$ ； （2）$y=\left(C_{1}+C_{2} x\right) \mathrm{e}^{2 x},\left.y\right|_{x=0}=0,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=1$ ； （3）$y=C_{1} \sin \left(x-C_{2}\right),\left.y\right|_{x=\pi}=1,\left.y^{\prime}\right|_{x=\pi}=0$ ．

5．写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程： （1）曲线在点 $(x, y)$ 处的切线的斜率等于该点横坐标的平方； （2）曲线上点 $P(x, y)$ 处的法线与 $x$ 轴的交点为 $Q$ ，且线段 $P Q$ 被 $y$ 轴平分； （3）曲线上点 $P(x, y)$ 处的切线与 $y$ 轴的交点为 $Q$ ，线段 $P Q$ 的长度为 $a$ ，且曲线通过点 $(a, 0)$ ．

6．用微分方程表示一物理命题：某种气体的压强 $p$ 对于温度 $T$ 的变化率与压强成正比，与温度的平方成反比．

7．一个半球体形状的雪堆，其体积融化率与半球面面积 $A$ 成正比，比例系数 $k\gt 0$ ．假设在融化过程中雪堆始终保持半球体形状，已知半径为 $r_{0}$ 的雪堆在开始融化的 3 h 内，融化了其体积的 $\frac{7}{8}$ ，问雪堆全部融化需要多少时间？