习题7-2

1．求下列微分方程的通解： （1）$x y^{\prime}-y \ln y=0$ ； （2） $3 x^{2}+5 x-5 y^{\prime}=0$ ； （3）$\sqrt{1-x^{2}} y^{\prime}=\sqrt{1-y^{2}}$ ； （4）$y^{\prime}-x y^{\prime}=a\left(y^{2}+y^{\prime}\right)$ ； （5） $\sec ^{2} x \tan y \mathrm{~d} x+\sec ^{2} y \tan x \mathrm{~d} y=0$ ； （6）$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=10^{x+y}$ ； （7）$\left(\mathrm{e}^{x+y}-\mathrm{e}^{x}\right) \mathrm{d} x+\left(\mathrm{e}^{x+y}+\mathrm{e}^{y}\right) \mathrm{d} y=0$ ； （8） $\cos x \sin y \mathrm{~d} x+\sin x \cos y \mathrm{~d} y=0$ ； （9）$(y+1)^{2} \frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} x}+x^{3}=0$ ； （10）$y \mathrm{~d} x+\left(x^{2}-4 x\right) \mathrm{d} y=0$ ．

2．求下列微分方程满足所给初值条件的特解： （1）$y^{\prime}=\mathrm{e}^{2 x-y},\left.y\right|_{x=0}=0$ ； （2） $\cos x \sin y \mathrm{~d} y=\cos y \sin x \mathrm{~d} x,\left.y\right|_{x=0}=\frac{\pi}{4}$ ； （3）$y^{\prime} \sin x=y \ln y,\left.y\right|_{x=\frac{\pi}{2}}=\mathrm{e}$ ； （4） $\cos y \mathrm{~d} x+\left(1+\mathrm{e}^{-x}\right) \sin y \mathrm{~d} y=0,\left.y\right|_{x=0}=\frac{\pi}{4}$ ； （5）$x \mathrm{~d} y+2 y \mathrm{~d} x=0,\left.y\right|_{x=2}=1$ ； （6）$\frac{1}{\rho} \frac{\mathrm{~d} \rho}{\mathrm{~d} \theta}+\frac{\rho^{2}+1}{\rho^{2}-1} \cot \theta=0,\left.\rho\right|_{\theta=\frac{\pi}{6}}=3$ ； （7）$x^{2}\left(1+y^{\prime 2}\right)=a^{2},\left.y\right|_{x=a}=0$ ，其中 $a\gt 0$ ．

3．有一盛满了水的圆锥形漏斗，高为 10 cm ，顶角为 $60^{\circ}$ ，漏斗下面有面积为 $0.5 \mathrm{~cm}^{2}$ 的孔，求水面高度变化的规律及水流完所需的时间．

4．质量为 1 g 的质点受外力作用做直线运动，这外力和时间成正比，和质点运动的速度成反比．在 $t=10 \mathrm{~s}$ 时，速度等于 $50 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}$ ，外力为 $4 \mathrm{~g} \cdot \mathrm{~cm} / \mathrm{s}^{2}$ ，问从运动开始经过了 1 min 后的速度是多少？

5．镭的衰变有如下的规律：镭的衰变速度与它的现存量 $R$ 成正比．由经验材料得知，镭经过 1600 年后，只余原始量 $R_{0}$ 的一半．试求镭的现存量 $R$ 与时间 $t$ 的函数关系．

6．一曲线通过点 $(2,3)$ ，它在两坐标轴间的任一切线线段均被切点所平分，求这曲线方程．

7．小船从河边点 $O$ 处出发驶向对岸（两岸为平行直线）。设船速为 $a$ ，小船航行的方向始终与河岸垂直，又设河宽为 $h$ ，河中任一点处的水流速度与该点到两岸距离的乘积成正比（比例系数为 $k)$ ．求小船的航行路线．