习题7-3

1．求下列齐次方程的通解： （1）$x y^{\prime}-y-\sqrt{y^{2}-x^{2}}=0$ ； （2）$x \frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} x}=y \ln \frac{y}{x}$ ； （3）$\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x-x y \mathrm{~d} y=0$ ； （4）$\left(x^{3}+y^{3}\right) \mathrm{d} x-3 x y^{2} \mathrm{~d} y=0$ ； （5）$\left(2 x \sin \frac{y}{x}+3 y \cos \frac{y}{x}\right) \mathrm{d} x-3 x \cos \frac{y}{x} \mathrm{~d} y=0$ ； （6）$\left(1+2 \mathrm{e}^{x / y}\right) \mathrm{d} x+2 \mathrm{e}^{x / y}\left(1-\frac{x}{y}\right) \mathrm{d} y=0$ ．

2．求下列齐次方程满足所给初值条件的特解： （1）$\left(y^{2}-3 x^{2}\right) \mathrm{d} y+2 x y \mathrm{~d} x=0,\left.y\right|_{x=0}=1$ ； （2）$y^{\prime}=\frac{x}{y}+\frac{y}{x},\left.y\right|_{x=1}=2$ ； （3）$\left(x^{2}+2 x y-y^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(y^{2}+2 x y-x^{2}\right) \mathrm{d} y=0,\left.y\right|_{x=1}=1$ ； （4）$x \frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} x}=y+x \sec \frac{y}{x},\left.y\right|_{x=1}=\frac{\pi}{4}$ ．

3．设有连接点 $O(0,0)$ 和 $A(1,1)$ 的一段向上凸的曲线弧 $\overparen{O A}$ ，对于 $\overparen{O A}$ 上任一点 $P(x, y)$ ，曲线弧 $\overparen{O P}$ 与直线段 $\overline{O P}$ 所围图形的面积为 $x^{2}$ ，求曲线弧 $\overparen{O A}$ 的方程．

＊4．化下列方程为齐次方程，并求出通解： （1）$(2 x-5 y+3) \mathrm{d} x-(2 x+4 y-6) \mathrm{d} y=0$ ； （2）$(x-y-1) \mathrm{d} x+(4 y+x-1) \mathrm{d} y=0$ ； （3）$(3 y-7 x+7) \mathrm{d} x+(7 y-3 x+3) \mathrm{d} y=0$ ； （4）$(x+y) \mathrm{d} x+(3 x+3 y-4) \mathrm{d} y=0$ ．