习题7-4

1．求下列微分方程的通解： （1）$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+y=\mathrm{e}^{-x}$ ； （2）$x y^{\prime}+y=x^{2}+3 x+2$ ； （3）$y^{\prime}+y \cos x=\mathrm{e}^{-\mathrm{sin} x}$ ； （4）$y^{\prime}+y \tan x=\sin 2 x$ ； （5）$\left(x^{2}-1\right) y^{\prime}+2 x y-\cos x=0$ ； （6）$\frac{\mathrm{d} \rho}{\mathrm{d} \theta}+3 \rho=2$ ； （7）$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+2 x y=4 x$ ； （8）$y \ln y \mathrm{~d} x+(x-\ln y) \mathrm{d} y=0$ ； （9）$(x-2) \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=y+2(x-2)^{3}$ ； （10）$\left(y^{2}-6 x\right) \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+2 y=0$ ．

2．求下列微分方程满足所给初值条件的特解： （1）$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}-y \tan x=\sec x,\left.y\right|_{x=0}=0$ ； （2）$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+\frac{y}{x}=\frac{\sin x}{x},\left.y\right|_{x=\pi}=1$ ； （3）$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+y \cot x=5 \mathrm{e}^{\cos x},\left.y\right|_{x=\frac{\pi}{2}}=-4$ ； （4）$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+3 y=8,\left.y\right|_{x=0}=2$ ； （5）$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+\frac{2-3 x^{2}}{x^{3}} y=1,\left.y\right|_{x=1}=0$ ； （6）$x\left(1+x^{2}\right) y^{\prime}+y=1+x^{2},\left.y\right|_{x=1}=0$ ．

3．若曲线通过原点，并且它在点 $(x, y)$ 处的切线斜率等于 $2 x+y$ ，求这曲线的方程．

4．设有一质量为 $m$ 的质点做直线运动。从速度等于零的时刻起，有一个与运动方向一致、大小与时间成正比（比例系数为 $k_{1}$ ）的力作用于它，此外还受一与速度成正比（比例系数为 $k_{2}$ ）的阻力作用．求质点运动的速度与时间的函数关系．

5．设有一个由电阻 $R=10 \Omega$ 、电感 $L=2 \mathrm{H}$ 和电源电压 $E=20 \sin 5 t \mathrm{~V}$ 串联组成的电路．开关 S 合上后，电路中有电流通过．求电流 $i$ 与时间 $t$ 的函数关系．

6．验证形如 $y f(x y) \mathrm{d} x+x g(x y) \mathrm{d} y=0$ 的微分方程可经变量代换 $v=x y$ 化为可分离变量的方程，并求其通解。

7．用适当的变量代换将下列方程化为可分离变量的方程，然后求出通解： （1）$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=(x+y)^{2}$ ； （2）$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{1}{x-y}+1$ ； （3）$x y^{\prime}+y=y(\ln x+\ln y)$ ； （4）$y^{\prime}=y^{2}+2(\sin x-1) y+\sin ^{2} x-2 \sin x-\cos x+1$ ； （5）$y(x y+1) \mathrm{d} x+x\left(1+x y+x^{2} y^{2}\right) \mathrm{d} y=0$ ． ${ }^{*} 8$ ．求下列伯努利方程的通解： （1）$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+y=y^{2}(\cos x-\sin x)$ ； （2）$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}-3 x y=x y^{2}$ ； （3）$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+\frac{1}{3} y=\frac{1}{3}(1-2 x) y^{4}$ ； （4）$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}-y=x y^{5}$ ； （5）$x \mathrm{~d} y-\left[y+x y^{3}(1+\ln x)\right] \mathrm{d} x=0$ ．