习题7-5

1．求下列各微分方程的通解： （1）$y^{\prime \prime}=x+\sin x$ ； （2）$y^{\prime \prime \prime}=x \mathrm{e}^{x}$ ； （3）$y^{\prime \prime}=\frac{1}{1+x^{2}}$ ； （4）$y^{\prime \prime}=1+y^{\prime 2}$ ； （5）$y^{\prime \prime}=y^{\prime}+x$ ； （6）$x y^{\prime \prime}+y^{\prime}=0$ ； （7）$y y^{\prime \prime}+2 y^{\prime 2}=0$ ； （8）$y^{3} y^{\prime \prime}-1=0$ ； （9）$y^{\prime \prime}=\frac{1}{\sqrt{y}}$ ； （10）$y^{\prime \prime}=y^{\prime 3}+y^{\prime}$ ．

2．设 $f(x)$ 具有二阶连续导数，满足： $$ f^{\prime 2}(x)=f(x)+\displaystyle{\int}_{0}^{x}\left[f^{\prime}(t)\right]^{3} \mathrm{~d} t $$ 且 $f^{\prime}(0)=1$ ，求 $f(x)$ ．

3．求下列各微分方程满足所给初值条件的特解： （1）$y^{3} y^{\prime \prime}+1=0,\left.y\right|_{x=1}=1,\left.y^{\prime}\right|_{x=1}=0$ ； （2）$y^{\prime \prime}-a y^{\prime 2}=0,\left.y\right|_{x=0}=0,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=-1$ ； （3）$y^{\prime \prime \prime}=\mathrm{e}^{a x},\left.y\right|_{x=1}=\left.y^{\prime}\right|_{x=1}=\left.y^{\prime \prime}\right|_{x=1}=0$ ； （4）$y^{\prime \prime}=\mathrm{e}^{2 y},\left.y\right|_{x=0}=\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=0$ ； （5）$y^{\prime \prime}=3 \sqrt{y},\left.y\right|_{x=0}=1,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=2$ ； （6）$y^{\prime \prime}+y^{\prime 2}=1,\left.y\right|_{x=0}=0,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=0$ ．

4．试求 $y^{\prime \prime}=x$ 的经过点 $M(0,1)$ 且在此点与直线 $y=\frac{x}{2}+1$ 相切的积分曲线．

5．设有一质量为 $m$ 的物体在空中由静止开始下落，如果空气阻力 $R=c v$（其中 $c$ 为常数，$v$ 为物体运动的速度），试求物体下落的距离 $s$ 与时间 $t$ 的函数关系．