习题7-6

1．下列函数组在其定义区间内哪些是线性无关的？ （1）$x, x^{2}$ ； （2）$x, 2 x$ ； （3） $\mathrm{e}^{2 x}, 3 \mathrm{e}^{2 x}$ ， （4） $\mathrm{e}^{-x}, \mathrm{e}^{x}$ ； （5） $\cos 2 x, \sin 2 x$ ； （6） $\mathrm{e}^{x^{2}}, x \mathrm{e}^{x^{2}}$ ； （7） $\sin 2 x, \cos x \sin x$ ； （8） $\mathrm{e}^{x} \cos 2 x, \mathrm{e}^{x} \sin 2 x$ ； （9） $\ln x, x \ln x$ ； （10） $\mathrm{e}^{a x}, \mathrm{e}^{b x}(a \neq b)$ ．

2．验证 $y_{1}=\cos \omega x$ 及 $y_{2}=\sin \omega x$ 都是方程 $y^{\prime \prime}+\omega^{2} y=0$ 的解，并写出该方程的通解．

3．验证 $y_{1}=\mathrm{e}^{x^{2}}$ 及 $y_{2}=x \mathrm{e}^{x^{2}}$ 都是方程 $y^{\prime \prime}-4 x y^{\prime}+\left(4 x^{2}-2\right) y=0$ 的解，并写出该方程的通解．

4．验证： （1）$y=C_{1} \mathrm{e}^{x}+C_{2} \mathrm{e}^{2 x}+\frac{1}{12} \mathrm{e}^{5 x}$（ $C_{1}, C_{2}$ 是任意常数）是方程 $y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=\mathrm{e}^{5 x}$ 的通解； （2）$y=C_{1} \cos 3 x+C_{2} \sin 3 x+\frac{1}{32}(4 x \cos x+\sin x) \quad\left(C_{1}, C_{2}\right.$ 是任意常数）是方程 $y^{\prime \prime}+9 y=x \cos x$ 的通解； （3）$y=C_{1} x^{2}+C_{2} x^{2} \ln x$（ $C_{1}, C_{2}$ 是任意常数）是方程 $x^{2} y^{\prime \prime}-3 x y^{\prime}+4 y=0$ 的通解； （4）$y=C_{1} x^{5}+\frac{C_{2}}{x}-\frac{x^{2}}{9} \ln x\left(C_{1}, C_{2}\right.$ 是任意常数）是方程 $x^{2} y^{\prime \prime}-3 x y^{\prime}-5 y=x^{2} \ln x$ 的通解； （5）$y=\frac{1}{x}\left(C_{1} \mathrm{e}^{x}+C_{2} \mathrm{e}^{-x}\right)+\frac{\mathrm{e}^{x}}{2}\left(C_{1}, C_{2}\right.$ 是任意常数）是方程 $x y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}-x y=\mathrm{e}^{x}$ 的通解； （6）$y=C_{1} \mathrm{e}^{x}+C_{2} \mathrm{e}^{-x}+C_{3} \cos x+C_{4} \sin x-x^{2}$（ $C_{1}, C_{2}, C_{3}, C_{4}$ 是任意常数）是方程 $y^{(4)}-y=x^{2}$ 的通解．

＊5．已知 $y_{1}(x)=\mathrm{e}^{x}$ 是齐次线性方程 $$ (2 x-1) y^{\prime \prime}-(2 x+1) y^{\prime}+2 y=0 $$ 的一个解，求此方程的通解．

＊6．已知 $y_{1}(x)=x$ 是齐次线性方程 $x^{2} y^{\prime \prime}-2 x y^{\prime}+2 y=0$ 的一个解，求非齐次线性方程 $x^{2} y^{\prime \prime}-2 x y^{\prime}+$ $2 y=2 x^{3}$ 的通解．

＊7．已知齐次线性方程 $y^{\prime \prime}+y=0$ 的通解为 $Y(x)=C_{1} \cos x+C_{2} \sin x$ ，求非齐次线性方程 $y^{\prime \prime}+y=\sec x$的通解．

＊8．已知齐次线性方程 $x^{2} y^{\prime \prime}-x y^{\prime}+y=0$ 的通解为 $Y(x)=C_{1} x+C_{2} x \ln |x|$ ，求非齐次线性方程 $x^{2} y^{\prime \prime}- x y^{\prime}+y=x$ 的通解．