习题7-7

1．下题中给出了四个结论，从中选一个正确的结论： 在下列微分方程中，以 $y=C_{1} \mathrm{e}^{-x}+C_{2} \cos x+C_{3} \sin x\left(C_{1}, C_{2}, C_{3}\right.$ 为任意常数）为通解的常系数齐次线性微分方程是 ）． （A）$y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime \prime}-y^{\prime}-y=0$ （B）$y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime \prime}+y^{\prime}+y=0$ （C）$y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime \prime}-y^{\prime}+y=0$ （D）$y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime \prime}-y^{\prime}-y=0$

2．求下列微分方程的通解： （1）$y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=0$ ； （2）$y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}=0$ ； （3）$y^{\prime \prime}+y=0$ ； （4）$y^{\prime \prime}+6 y^{\prime}+13 y=0$ ； （5） $4 \frac{\mathrm{~d}^{2} x}{\mathrm{~d} t^{2}}-20 \frac{\mathrm{~d} x}{\mathrm{~d} t}+25 x=0$ ； （6）$y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+5 y=0$ ； （7）$y^{(4)}-y=0$ ； （8）$y^{(4)}+2 y^{\prime \prime}+y=0$ ； （9）$y^{(4)}-2 y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime \prime}=0$ ； （10）$y^{(4)}+5 y^{\prime \prime}-36 y=0$ ．

3．求下列微分方程满足所给初值条件的特解： （1）$y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+3 y=0,\left.y\right|_{x=0}=6,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=10$ ； （2） $4 y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+y=0,\left.y\right|_{x=0}=2,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=0$ ； （3）$y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}-4 y=0,\left.y\right|_{x=0}=0,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=-5$ ； （4）$y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+29 y=0,\left.y\right|_{x=0}=0,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=15$ ； （5）$y^{\prime \prime}+25 y=0,\left.y\right|_{x=0}=2,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=5$ ； （6）$y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+13 y=0,\left.y\right|_{x=0}=0,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=3$ ．

4．一个单位质量的质点在数轴上运动，开始时质点在原点 $O$ 处且速度为 $v_{0}$ ，在运动过程中，它受到一个力的作用，这个力的大小与质点到原点的距离成正比 （比例系数 $k_{1}\gt 0$ ）而方向与初速度一致。又介质的阻力与速度成正比（比例系数 $k_{2}\gt 0$ ）．求反映这质点的运动规律的函数．

5．在图7－13所示的电路中先将开关 S 拨向 $A$ ，达到稳定状态后再将开关 S 拨向 $B$ ，求电压 $u_{C}(t)$ 及电流 $i(t)$ 。已知 $E= 20 \mathrm{~V}, C=0.5 \times 10^{-6} \mathrm{~F}, L=0.1 \mathrm{H}, R=2000 \Omega$ ．

6．设圆柱形浮筒的底面直径为 0.5 m ，将它铅直放在水中， <img src="/static/img/textbook/feda593760d5.jpg" style="max-width:100%;height:auto;"> 当稍向下压后突然放开，浮筒在水中上下振动的周期为 2 s ，求浮筒的质量．