习题7-8

1．求下列各微分方程的通解： （1） $2 y^{\prime \prime}+y^{\prime}-y=2 \mathrm{e}^{x}$ ； （2）$y^{\prime \prime}+a^{2} y=\mathrm{e}^{x}$ ； （3） $2 y^{\prime \prime}+5 y^{\prime}=5 x^{2}-2 x-1$ ； （4）$y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}+2 y=3 x \mathrm{e}^{-x}$ ； （5）$y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+5 y=\mathrm{e}^{x} \sin 2 x$ ； （6）$y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+9 y=(x+1) \mathrm{e}^{3 x}$ ； （7）$y^{\prime \prime}+5 y^{\prime}+4 y=3-2 x$ ； （8）$y^{\prime \prime}+4 y=x \cos x$ ； （9）$y^{\prime \prime}+y=\mathrm{e}^{x}+\cos x$ ； （10）$y^{\prime \prime}-y=\sin ^{2} x$ ．

2．求下列各微分方程满足已给初值条件的特解： （1）$y^{\prime \prime}+y+\sin 2 x=0,\left.y\right|_{x=\pi}=1,\left.y^{\prime}\right|_{x=\pi}=1$ ； （2）$y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=5,\left.y\right|_{x=0}=1,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=2$ ； （3）$y^{\prime \prime}-10 y^{\prime}+9 y=\mathrm{e}^{2 x},\left.y\right|_{x=0}=\frac{6}{7},\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=\frac{33}{7}$ ； （4）$y^{\prime \prime}-y=4 x \mathrm{e}^{x},\left.y\right|_{x=0}=0,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=1$ ； （5）$y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}=5,\left.y\right|_{x=0}=1,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=0$ ．

3．已知二阶常系数齐次线性微分方程 $y^{\prime \prime}+m y^{\prime}+n y=0$ 的通解为 $y=\left(C_{1}+C_{2} x\right) \mathrm{e}^{x}$ ，求 $m, n$ 的值，并求非齐次方程 $y^{\prime \prime}+m y^{\prime}+n y=x$ 满足初值条件 $y(0)=2, y^{\prime}(0)=0$ 的特解．

4．大炮以仰角 $\alpha$ 、初速度 $v_{0}$ 发射炮弹，若不计空气阻力，求弹道曲线．

5．在 $R L C$ 含源串联电路中，电动势为 $E$ 的电源对电容器 $C$ 充电．已知 $E=20 \mathrm{~V}, C=0.2 \mu \mathrm{~F}, L= 0.1 \mathrm{H}, R=1000 \Omega$ ，试求合上开关 S 后的电流 $i(t)$ 及电压 $u_{C}(t)$ ．

6．设函数 $\varphi(x)$ 连续，且满足 $$ \varphi(x)=\mathrm{e}^{x}+\displaystyle{\int}_{0}^{x} t \varphi(t) \mathrm{d} t-x \displaystyle{\int}_{0}^{x} \varphi(t) \mathrm{d} t, $$ 求 $\varphi(x)$ ．