📝 题目
1．求下列函数的自然定义域： （1）$y=\sqrt{3 x+2}$ ； （2）$y=\frac{1}{1-x^{2}}$ ； （3）$y=\frac{1}{x}-\sqrt{1-x^{2}}$ ； （4）$y=\frac{1}{\sqrt{4-x^{2}}}$ ； （5）$y=\sin \sqrt{x}$ ； （6）$y=\tan (x+1)$ ； （7）$y=\arcsin (x-3)$ ； （8）$y=\sqrt{3-x}+\arctan \frac{1}{x}$ ； （9）$y=\ln (x+1)$ ； （10）$y=\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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**（1）** $y=\sqrt{3x+2}$ 根号内非负：$3x+2 \ge 0$，解得 $x \ge -\frac{2}{3}$。 定义域：$\left[-\frac{2}{3}, +\infty\right)$。
**（2）** $y=\frac{1}{1-x^{2}}$ 分母不为零：$1-x^2 \neq 0$，即 $x \neq \pm 1$。 定义域：$(-\infty, -1) \cup (-1, 1) \cup (1, +\infty)$。
**（3）** $y=\frac{1}{x}-\sqrt{1-x^{2}}$ 分母不为零：$x \neq 0$； 根号内非负：$1-x^2 \ge 0$，即 $-1 \le x \le 1$。 取交集：$[-1,0) \cup (0,1]$。
**（4）** $y=\frac{1}{\sqrt{4-x^{2}}}$ 分母不为零且根号内为正：$4-x^2 > 0$，即 $x^2 < 4$，解得 $-2 < x < 2$。 定义域：$(-2,2)$。
**（5）** $y=\sin \sqrt{x}$ 根号内非负：$x \ge 0$。 定义域：$[0, +\infty)$。
**（6）** $y=\tan (x+1)$ 正切函数要求 $x+1 \neq \frac{\pi}{2} + k\pi,\ k \in \mathbb{Z}$， 即 $x \neq \frac{\pi}{2} - 1 + k\pi$。 定义域：$\{x \in \mathbb{R} \mid x \neq \frac{\pi}{2} - 1 + k\pi,\ k \in \mathbb{Z}\}$。
**（7）** $y=\arcsin (x-3)$ 反正弦定义域要求 $-1 \le x-3 \le 1$， 解得 $2 \le x \le 4$。 定义域：$[2,4]$。
**（8）** $y=\sqrt{3-x}+\arctan \frac{1}{x}$ 根号内非负：$3-x \ge 0$，即 $x \le 3$； 反正切部分要求分母不为零：$x \neq 0$。 取交集：$(-\infty,0) \cup (0,3]$。
**（9）** $y=\ln (x+1)$ 对数真数大于零：$x+1 > 0$，即 $x > -1$。 定义域：$(-1, +\infty)$。
**（10）** $y=\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}$ 指数部分分母不为零：$x \neq 0$。 定义域：$(-\infty,0) \cup (0, +\infty)$。