📝 题目
12．在下列各题中，求由所给函数构成的复合函数，并求该函数分别对应于给定自变量值 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ 的函数值： （1）$y=u^{2}, u=\sin x, x_{1}=\frac{\pi}{6}, x_{2}=\frac{\pi}{3}$ ； （2）$y=\sin u, u=2 x, x_{1}=\frac{\pi}{8}, x_{2}=\frac{\pi}{4}$ ； （3）$y=\sqrt{u}, u=1+x^{2}, x_{1}=1, x_{2}=2$ ； （4）$y=\mathrm{e}^{u}, u=x^{2}, x_{1}=0, x_{2}=1$ ； （5）$y=u^{2}, u=\mathrm{e}^{x}, x_{1}=1, x_{2}=-1$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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**（1）** 复合函数：$y = (\sin x)^2 = \sin^2 x$ 当 $x_1 = \frac{\pi}{6}$ 时， $$y_1 = \sin^2 \frac{\pi}{6} = \left(\frac12\right)^2 = \frac14$$ 当 $x_2 = \frac{\pi}{3}$ 时， $$y_2 = \sin^2 \frac{\pi}{3} = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac34$$
**（2）** 复合函数：$y = \sin(2x)$ 当 $x_1 = \frac{\pi}{8}$ 时， $$y_1 = \sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{8}\right) = \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ 当 $x_2 = \frac{\pi}{4}$ 时， $$y_2 = \sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{4}\right) = \sin\frac{\pi}{2} = 1$$
**（3）** 复合函数：$y = \sqrt{1+x^2}$ 当 $x_1 = 1$ 时， $$y_1 = \sqrt{1+1^2} = \sqrt{2}$$ 当 $x_2 = 2$ 时， $$y_2 = \sqrt{1+2^2} = \sqrt{5}$$
**（4）** 复合函数：$y = e^{x^2}$ 当 $x_1 = 0$ 时， $$y_1 = e^{0^2} = e^0 = 1$$ 当 $x_2 = 1$ 时， $$y_2 = e^{1^2} = e$$
**（5）** 复合函数：$y = (e^x)^2 = e^{2x}$ 当 $x_1 = 1$ 时， $$y_1 = e^{2 \cdot 1} = e^2$$ 当 $x_2 = -1$ 时， $$y_2 = e^{2 \cdot (-1)} = e^{-2}$$