📝 题目
13．设 $f(x)$ 的定义域 $D=[0,1]$ ，求下列各函数的定义域： （1）$f\left(x^{2}\right)$ ； （2）$f(\sin x)$ ； （3）$f(x+a)(a\gt 0)$ ； （4）$f(x+a)+f(x-a)(a\gt 0)$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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**题目**：设 $ f(x) $ 的定义域 $ D=[0,1] $，求下列各函数的定义域。
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### （1）$ f(x^2) $
要使 $ f(x^2) $ 有意义，必须满足 $$ 0 \le x^2 \le 1 $$ 解不等式： $$ x^2 \le 1 \quad\Rightarrow\quad -1 \le x \le 1 $$ 同时 $ x^2 \ge 0 $ 恒成立。 所以定义域为 $$ \boxed{[-1,1]} $$
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### （2）$ f(\sin x) $
要求 $$ 0 \le \sin x \le 1 $$ 正弦函数在 $[0, \pi]$ 上非负，且 $\sin x = 0$ 在 $x = k\pi$，$\sin x = 1$ 在 $x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$。 满足 $ 0 \le \sin x \le 1 $ 的 $x$ 区间为 $$ [2k\pi,\ \pi + 2k\pi],\quad k \in \mathbb{Z} $$ 因此定义域为 $$ \boxed{\bigcup_{k \in \mathbb{Z}} [2k\pi,\ \pi+2k\pi]} $$
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### （3）$ f(x+a) $，其中 $ a>0 $
要求 $$ 0 \le x+a \le 1 $$ 即 $$ -a \le x \le 1-a $$ 由于 $ a>0 $，下界 $-a < 0$，上界 $1-a$ 可能为正也可能为负，取决于 $a$ 的大小。 定义域为 $$ \boxed{[-a,\ 1-a]} $$
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### （4）$ f(x+a) + f(x-a) $，其中 $ a>0 $
两个部分都要有意义，因此需同时满足： $$ \begin{cases} 0 \le x+a \le 1 \$$2pt] 0 \le x-a \le 1 \end{cases} $$ 即 $$ \begin{cases} -a \le x \le 1-a \$$2pt] a \le x \le 1+a \end{cases} $$ 取交集： $$ \max(-a, a) \le x \le \min(1-a, 1+a) $$ 由于 $a>0$，$\max(-a, a) = a$，而 $\min(1-a, 1+a) = 1-a$（因为 $1-a \le 1+a$）。 因此要求 $$ a \le x \le 1-a $$ 要使此区间非空，还需 $a \le 1-a$，即 $a \le \frac12$。 若 $a > \frac12$，则定义域为空集。
所以定义域为 $$ \boxed{[a,\ 1-a],\quad \text{当 } 0 < a \le \frac12} $$ 若 $a > \frac12$，则定义域为 $\varnothing$。