📝 题目
14．设
$$ f(x)= \begin{cases}1, & |x|\lt 1 \\ 0, & |x|=1, \quad g(x)=\mathrm{e}^{x} \\ -1, & |x|\gt 1\end{cases} $$
求 $f[g(x)]$ 和 $g[f(x)]$ ，并作出这两个函数的图形．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答]
**第一步：明确函数定义**
已知 $$ f(x)= \begin{cases}1, & |x|<1 \\ 0, & |x|=1 \\ -1, & |x|>1\end{cases} $$ 且 $ g(x)=e^x $。
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**第二步：求复合函数 $ f[g(x)] $**
因为 $ g(x)=e^x >0 $ 对所有实数 $x$ 成立，所以只需考虑 $ e^x $ 与 1 的大小关系：
- 当 $ |e^x|<1 $ 即 $ e^x<1 \Rightarrow x<0 $ 时，$ f(e^x)=1 $； - 当 $ |e^x|=1 $ 即 $ e^x=1 \Rightarrow x=0 $ 时，$ f(e^x)=0 $； - 当 $ |e^x|>1 $ 即 $ e^x>1 \Rightarrow x>0 $ 时，$ f(e^x)=-1 $。
因此 $$ f[g(x)] = f(e^x) = \begin{cases} 1, & x<0,\\ 0, & x=0,\\ -1, & x>0. \end{cases} $$
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**第三步：求复合函数 $ g[f(x)] $**
由于 $ g(y)=e^y $，所以 $$ g[f(x)] = e^{f(x)}. $$
根据 $ f(x) $ 的分段：
- 当 $ |x|<1 $ 时，$ f(x)=1 $，则 $ g[f(x)]=e^1=e $； - 当 $ |x|=1 $ 时，$ f(x)=0 $，则 $ g[f(x)]=e^0=1 $； - 当 $ |x|>1 $ 时，$ f(x)=-1 $，则 $ g[f(x)]=e^{-1}=1/e $。
因此 $$ g[f(x)] = \begin{cases} e, & |x|<1,\\ 1, & |x|=1,\\ \frac{1}{e}, & |x|>1. \end{cases} $$
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**第四步：图形描述**
- $ f[g(x)] $ 的图形：在 $ x<0 $ 时恒为 1（水平线），在 $ x=0 $ 处为孤立点 (0,0)，在 $ x>0 $ 时恒为 -1（水平线），注意 $ x=0 $ 处是间断点。 - $ g[f(x)] $ 的图形：在区间 $(-1,1)$ 内为水平线 $ y=e $；在 $ x=\pm1 $ 处为两个孤立点 $(-1,1)$ 和 $(1,1)$；在 $(-\infty,-1)$ 和 $(1,\infty)$ 上为水平线 $ y=1/e $。
（图形略，此处用文字描述。）