📝 题目
18．已知 Rt $\triangle A B C$ 中，直角边 $A C, B C$ 的长度分别为 20,15 ，动点 $P$ 从 $C$ 出发，沿三角形边界按 $C \rightarrow B \rightarrow A$ 方向移动；动点 $Q$ 从 $C$ 出发，沿三角形边界按 $C \rightarrow A \rightarrow B$ 方向移动，移动到两动点相遇时为止，且点 $Q$ 移动的速度是点 $P$ 移动的速度的 2 倍．设动点 $P$ 移动的距离为 $x, \triangle C P Q$ 的面积为 $y$ ，试求 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系．
💡 答案与解析
[AI解答]
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已知Rt△ABC中，直角边AC=20，BC=15，则斜边AB由勾股定理： $$ AB = \sqrt{20^2 + 15^2} = \sqrt{400 + 225} = \sqrt{625} = 25. $$ 三角形周长为： $$ 20 + 15 + 25 = 60. $$
设P的速度为v，则Q的速度为2v。P移动距离为x时，所用时间t = x / v，此时Q移动距离为 2v·t = 2x。 两动点相遇时，总路程之和等于周长，即： $$ x + 2x = 60 \quad\Rightarrow\quad 3x = 60 \quad\Rightarrow\quad x = 20. $$ 故x的取值范围为0 ≤ x ≤ 20。
下面按P所在位置分三段讨论。
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**（1）当P在BC上时（0 ≤ x ≤ 15）** 此时P在BC上，Q在CA上。 CP = x，CQ = 2x。 由于∠C = 90°，△CPQ为直角三角形，面积为： $$ y = \frac12 \cdot CP \cdot CQ = \frac12 \cdot x \cdot 2x = x^2. $$
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**（2）当P在AB上，且Q仍在CA上时（15 < x ≤ ？）** 先确定Q离开C到A的距离：CA=20，Q移动距离为2x，当2x ≤ 20即x ≤ 10时Q在CA上。 但此段x > 15，故这种情况不存在，因为x=15时2x=30 > 20，Q已进入AB段。 所以当x > 15时，P和Q都在AB上。
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**（3）当P在AB上，Q也在AB上时（15 < x ≤ 20）** 此时P从B出发沿BA向A移动，Q从A出发沿AB向B移动。 记P在BC上移动了15，进入AB后移动距离为 x - 15，故P在AB上距B为 x - 15，则距A为： $$ AP = 25 - (x - 15) = 40 - x. $$ Q移动总距离为2x，在CA上移动20到达A，剩余距离 2x - 20 在AB上从A向B移动，故Q距A为 2x - 20，距B为： $$ QB = 25 - (2x - 20) = 45 - 2x. $$
P与Q在AB上，线段PQ长度为： $$ PQ = AB - AP - QB = 25 - (40 - x) - (45 - 2x) = 25 - 40 + x - 45 + 2x = 3x - 60. $$
△CPQ的面积可看作△ABC面积减去三个小三角形面积。 △ABC面积： $$ S_{\triangle ABC} = \frac12 \cdot 20 \cdot 15 = 150. $$ △APQ中，底PQ = 3x - 60，高为C到AB的距离h。 由面积法： $$ \frac12 \cdot AB \cdot h = 150 \quad\Rightarrow\quad h = \frac{300}{25} = 12. $$ 所以： $$ S_{\triangle APQ} = \frac12 \cdot (3x - 60) \cdot 12 = 6(3x - 60) = 18x - 360. $$
另外两个小三角形： △CBP：底BP = x - 15，高为BC边上的高？注意这里C到BP的垂线即从C向AB作垂线，但BP在AB上，高同样是h=12，所以： $$ S_{\triangle CBP} = \frac12 \cdot (x - 15) \cdot 12 = 6(x - 15) = 6x - 90. $$ △CAQ：底AQ = 2x - 20，高也是12，所以： $$ S_{\triangle CAQ} = \frac12 \cdot (2x - 20) \cdot 12 = 6(2x - 20) = 12x - 120. $$
于是： $$ y = S_{\triangle ABC} - S_{\triangle APQ} - S_{\triangle CBP} - S_{\triangle CAQ} = 150 - (18x - 360) - (6x - 90) - (12x - 120). $$ 化简： $$ y = 150 - 18x + 360 - 6x + 90 - 12x + 120 = (150+360+90+120) - (18x+6x+12x) = 720 - 36x. $$
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**综上，函数关系为：** $$ y = \begin{cases} x^2, & 0 \le x \le 15, \$$5pt] 720 - 36x, & 15 < x \le 20. \end{cases} $$