📝 题目
3．设
$$ \varphi(x)=\left\{\begin{array}{cl} |\sin x|, & |x|\lt \frac{\pi}{3}, \\ 0, & |x| \geqslant \frac{\pi}{3}, \end{array}\right. $$
求 $\varphi\left(\frac{\pi}{6}\right), \varphi\left(\frac{\pi}{4}\right), \varphi\left(-\frac{\pi}{4}\right), \varphi(-2)$ ，并作出函数 $y=\varphi(x)$ 的图形．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答]
**第一步：分析函数定义** 函数 $\varphi(x)$ 是分段函数： - 当 $|x| < \frac{\pi}{3}$ 时，$\varphi(x) = |\sin x|$； - 当 $|x| \ge \frac{\pi}{3}$ 时，$\varphi(x) = 0$。
注意 $\frac{\pi}{3} \approx 1.0472$。
**第二步：计算各点的函数值**
1. 求 $\varphi\left(\frac{\pi}{6}\right)$ 因为 $\left|\frac{\pi}{6}\right| = \frac{\pi}{6} \approx 0.5236 < \frac{\pi}{3}$，所以 $$ \varphi\left(\frac{\pi}{6}\right) = \left|\sin\frac{\pi}{6}\right| = \left|\frac12\right| = \frac12. $$
2. 求 $\varphi\left(\frac{\pi}{4}\right)$ 因为 $\left|\frac{\pi}{4}\right| = \frac{\pi}{4} \approx 0.7854 < \frac{\pi}{3}$，所以 $$ \varphi\left(\frac{\pi}{4}\right) = \left|\sin\frac{\pi}{4}\right| = \left|\frac{\sqrt{2}}{2}\right| = \frac{\sqrt{2}}{2}. $$
3. 求 $\varphi\left(-\frac{\pi}{4}\right)$ 因为 $\left|-\frac{\pi}{4}\right| = \frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{3}$，所以 $$ \varphi\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \left|\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right| = \left|-\frac{\sqrt{2}}{2}\right| = \frac{\sqrt{2}}{2}. $$
4. 求 $\varphi(-2)$ 因为 $|-2| = 2 > \frac{\pi}{3}$，所以 $$ \varphi(-2) = 0. $$
**第三步：作函数图形** 函数 $y = \varphi(x)$ 的图形描述如下： - 在区间 $(-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3})$ 内，函数取 $|\sin x|$ 的值，即一个偶函数形状，在 $x=0$ 处为 $0$，在 $x=\pm\frac{\pi}{6}$ 处为 $0.5$，在 $x=\pm\frac{\pi}{4}$ 处为 $\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0.7071$，在端点 $x=\pm\frac{\pi}{3}$ 处，由于 $|\sin(\pm\frac{\pi}{3})| = \frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0.8660$，但注意定义中 $|x|<\frac{\pi}{3}$ 时取该值，端点处属于 $|x|\ge\frac{\pi}{3}$，因此取 $0$，所以图形在端点处跳跃到 $0$。 - 在 $|x| \ge \frac{\pi}{3}$ 的区域，函数值恒为 $0$。
图形大致为：中间一段类似拱形（$|\sin x|$ 的波形但只取中间一段），两边水平线在 $x$ 轴上。
**最终答案** $$ \boxed{\frac12},\quad \boxed{\frac{\sqrt{2}}{2}},\quad \boxed{\frac{\sqrt{2}}{2}},\quad \boxed{0}. $$