📝 题目
8．设下面所考虑的函数都是定义在区间 $(-l, l)$ 上的．证明： （1）两个偶函数的和是偶函数，两个奇函数的和是奇函数； （2）两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，偶函数与奇函数的乘积是奇函数．
💡 答案与解析
[AI解答]
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**证明**：设函数定义在区间 $(-l, l)$ 上，且 $x \in (-l, l)$ 时，有 $-x \in (-l, l)$。
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### （1）和的奇偶性
- **两个偶函数的和是偶函数** 设 $f(x), g(x)$ 都是偶函数，即 $$ f(-x) = f(x), \quad g(-x) = g(x). $$ 令 $h(x) = f(x) + g(x)$，则 $$ h(-x) = f(-x) + g(-x) = f(x) + g(x) = h(x), $$ 所以 $h(x)$ 是偶函数。
- **两个奇函数的和是奇函数** 设 $f(x), g(x)$ 都是奇函数，即 $$ f(-x) = -f(x), \quad g(-x) = -g(x). $$ 令 $h(x) = f(x) + g(x)$，则 $$ h(-x) = f(-x) + g(-x) = -f(x) - g(x) = -[f(x) + g(x)] = -h(x), $$ 所以 $h(x)$ 是奇函数。
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### （2）乘积的奇偶性
- **两个偶函数的乘积是偶函数** 设 $f(x), g(x)$ 为偶函数，则 $$ (fg)(-x) = f(-x)g(-x) = f(x)g(x) = (fg)(x), $$ 所以乘积是偶函数。
- **两个奇函数的乘积是偶函数** 设 $f(x), g(x)$ 为奇函数，则 $$ (fg)(-x) = f(-x)g(-x) = [-f(x)][-g(x)] = f(x)g(x) = (fg)(x), $$ 所以乘积是偶函数。
- **偶函数与奇函数的乘积是奇函数** 设 $f(x)$ 为偶函数，$g(x)$ 为奇函数，则 $$ (fg)(-x) = f(-x)g(-x) = f(x)[-g(x)] = -f(x)g(x) = -(fg)(x), $$ 所以乘积是奇函数。
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综上，命题得证。