📝 题目
1．假设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[0,1]$ 上连续，并且对 $[0,1]$ 上任一点 $x$ 有 $0 \leqslant f(x) \leqslant 1$ ．试证明 $[0,1]$
中必存在一点 $c$ ，使得 $f(c)=c$（ $c$ 称为函数 $f(x)$ 的不动点）．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答]
**证明**： 考虑辅助函数 $$ F(x) = f(x) - x, $$ 由题设，$f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，而 $x$ 在 $[0,1]$ 上也连续，因此 $F(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续。
计算端点处的函数值： 当 $x=0$ 时， $$ F(0) = f(0) - 0 = f(0) \ge 0, $$ 当 $x=1$ 时， $$ F(1) = f(1) - 1 \le 0. $$
于是有 $$ F(0) \ge 0, \quad F(1) \le 0. $$
若 $F(0)=0$，则 $c=0$ 即为不动点； 若 $F(1)=0$，则 $c=1$ 即为不动点。 否则，$F(0) > 0$ 且 $F(1) < 0$，由闭区间上连续函数的介值定理，存在 $c \in (0,1)$ 使得 $$ F(c) = 0, $$ 即 $$ f(c) - c = 0 \quad \Rightarrow \quad f(c) = c. $$
综上，必存在 $c \in [0,1]$ 使得 $f(c)=c$。 证毕。