📝 题目
2．证明方程 $x^{5}-3 x=1$ 至少有一个根介于 1 和 2 之间．
💡 答案与解析
[AI解答]
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**题目**：证明方程 $x^{5} - 3x = 1$ 至少有一个根介于 1 和 2 之间。
**证明**：
考虑函数 $$ f(x) = x^{5} - 3x - 1 $$ 该函数在区间 $[1, 2]$ 上连续（因为它是多项式函数）。
计算区间端点的函数值：
当 $x = 1$ 时， $$ f(1) = 1^{5} - 3 \cdot 1 - 1 = 1 - 3 - 1 = -3 < 0 $$
当 $x = 2$ 时， $$ f(2) = 2^{5} - 3 \cdot 2 - 1 = 32 - 6 - 1 = 25 > 0 $$
因此有 $$ f(1) < 0, \quad f(2) > 0 $$
由连续函数的零点定理（介值定理），在区间 $(1, 2)$ 内至少存在一点 $\xi$，使得 $$ f(\xi) = 0 $$ 即 $$ \xi^{5} - 3\xi = 1 $$ 所以方程 $x^{5} - 3x = 1$ 至少有一个根介于 1 和 2 之间。
证毕。