📝 题目
4．证明任一最高次幂的指数为奇数的代数方程
$$ a_{0} x^{2 n+1}+a_{1} x^{2 n}+\cdots+a_{2 n} x+a_{2 n+1}=0 $$
至少有一个实根，其中 $a_{0}, a_{1}, \cdots, a_{2 n+1}$ 均为常数，$n \in \mathbf{N}$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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**证明**： 设 $$ f(x)=a_{0} x^{2 n+1}+a_{1} x^{2 n}+\cdots+a_{2 n} x+a_{2 n+1} $$ 其中 $a_0 \neq 0$，否则最高次幂指数会降低。考虑函数在 $x\to +\infty$ 和 $x\to -\infty$ 时的极限行为。
由于最高次项是奇数次，且系数 $a_0$ 非零，分两种情况：
1. **若 $a_0 > 0$**： 当 $x \to +\infty$ 时，$a_0 x^{2n+1} \to +\infty$，故 $$ \lim_{x\to +\infty} f(x) = +\infty $$ 当 $x \to -\infty$ 时，$x^{2n+1} \to -\infty$，故 $$ \lim_{x\to -\infty} f(x) = -\infty $$
2. **若 $a_0 < 0$**： 当 $x \to +\infty$ 时，$a_0 x^{2n+1} \to -\infty$，故 $$ \lim_{x\to +\infty} f(x) = -\infty $$ 当 $x \to -\infty$ 时，$x^{2n+1} \to -\infty$，而 $a_0<0$，故 $$ \lim_{x\to -\infty} f(x) = +\infty $$
因此无论 $a_0$ 正负，总存在实数 $A$ 使得 $f(A) < 0$，存在实数 $B$ 使得 $f(B) > 0$。 由于多项式函数在 $\mathbb{R}$ 上连续，由**零点定理**（介值定理），存在 $\xi$ 介于 $A$ 与 $B$ 之间，使得 $$ f(\xi)=0 $$ 即方程至少有一个实根。证毕。