📝 题目
6．若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，$a\lt x_{1}\lt x_{2}\lt \cdots\lt x_{n}\lt b(n \geqslant 3)$ ，证明：在 $\left(x_{1}, x_{n}\right)$ 内至少有一点 $\xi$ ，使 $f(\xi)=\frac{f\left(x_{1}\right)+f\left(x_{2}\right)+\cdots+f\left(x_{n}\right)}{n}$.
💡 答案与解析
[AI解答]
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**证明**： 由于 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，因此在子区间 $[x_1, x_n]$ 上也连续。 由闭区间上连续函数的最值定理，$f(x)$ 在 $[x_1, x_n]$ 上存在最大值 $M$ 和最小值 $m$，即 $$ m \leq f(x) \leq M, \quad \forall x \in [x_1, x_n]. $$
于是对于每个 $x_i$（$i = 1,2,\dots,n$），都有 $$ m \leq f(x_i) \leq M. $$
将这 $n$ 个不等式相加，得到 $$ n m \leq f(x_1) + f(x_2) + \cdots + f(x_n) \leq n M. $$
两边同时除以 $n$，得 $$ m \leq \frac{f(x_1) + f(x_2) + \cdots + f(x_n)}{n} \leq M. $$
记 $$ \mu = \frac{f(x_1) + f(x_2) + \cdots + f(x_n)}{n}, $$ 则 $\mu$ 介于 $m$ 与 $M$ 之间。由闭区间上连续函数的介值定理，存在 $\xi \in [x_1, x_n]$，使得 $$ f(\xi) = \mu. $$
又因为 $x_1 < x_2 < \cdots < x_n$，且 $n \geq 3$，所以 $\mu$ 是至少三个数的平均值，它不可能等于所有端点值（除非所有值相等，但此时结论显然成立）。因此，可以取 $\xi$ 在开区间 $(x_1, x_n)$ 内。 综上，存在 $\xi \in (x_1, x_n)$，使得 $$ f(\xi) = \frac{f(x_1) + f(x_2) + \cdots + f(x_n)}{n}. $$
证毕。