📝 题目
＊7．设函数 $f(x)$ 对于闭区间 $[a, b]$ 上的任意两点 $x, y$ ，恒有 $|f(x)-f(y)| \leqslant L|x-y|$ ，其中 $L$ 为正常数，且 $f(a) \cdot f(b)\lt 0$ ．证明：至少有一点 $\xi \in(a, b)$ ，使得 $f(\xi)=0$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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**证明**： 已知函数 $ f(x) $ 在闭区间 $[a, b]$ 上满足 Lipschitz 条件： $$ |f(x)-f(y)| \leq L|x-y|, \quad \forall x, y \in [a, b], $$ 其中 $ L > 0 $ 为常数。 并且有 $ f(a) \cdot f(b) < 0 $，即 $ f(a) $ 与 $ f(b) $ 异号。
首先，由 Lipschitz 条件可知，对任意 $ x_0 \in [a, b] $，有 $$ |f(x) - f(x_0)| \leq L|x - x_0|, $$ 从而当 $ x \to x_0 $ 时，$ f(x) \to f(x_0) $，因此 $ f(x) $ 在 $[a, b]$ 上一致连续，特别地，是连续的。
由于 $ f(a) $ 与 $ f(b) $ 异号，不妨设 $ f(a) < 0 < f(b) $（若相反，可类似证明）。 由连续函数的介值定理，存在至少一点 $ \xi \in (a, b) $ 使得 $ f(\xi) = 0 $。
因此结论成立。 $$ \blacksquare $$