📝 题目
＊8．证明：若 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续，且 $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \infty} f(x)$ 存在，则 $f(x)$ 必在 $(-\infty,+\infty)$ 内有界．
💡 答案与解析
[AI解答]
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**题目：** 证明：若 $ f(x) $ 在 $ (-\infty, +\infty) $ 内连续，且 $\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x)$ 存在，则 $ f(x) $ 必在 $ (-\infty, +\infty) $ 内有界。
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**证明步骤：**
1. 设 $$ \lim_{x \to \infty} f(x) = A $$ 根据极限的定义，对于 $\varepsilon = 1$，存在 $ X > 0 $，使得当 $ |x| > X $ 时，有 $$ |f(x) - A| < 1 $$ 由此可得 $$ |f(x)| < |A| + 1, \quad \forall |x| > X. $$
2. 考虑闭区间 $[-X, X]$。由于 $ f(x) $ 在 $ (-\infty, +\infty) $ 上连续，因此在闭区间 $[-X, X]$ 上也连续。 由闭区间上连续函数的**有界性定理**，存在常数 $ M_1 > 0 $，使得 $$ |f(x)| \leq M_1, \quad \forall x \in [-X, X]. $$
3. 取 $$ M = \max\{ |A| + 1, M_1 \} $$ 则对于任意实数 $ x $： - 若 $ |x| \leq X $，有 $ |f(x)| \leq M_1 \leq M $； - 若 $ |x| > X $，有 $ |f(x)| < |A| + 1 \leq M $。
因此，对一切 $ x \in (-\infty, +\infty) $，都有 $$ |f(x)| \leq M. $$
4. 所以 $ f(x) $ 在 $ (-\infty, +\infty) $ 上有界。
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**结论：** 命题得证。