📝 题目
1．下列各题中，哪些数列收敛，哪些数列发散？对收敛数列，通过观察 $\left\{x_{n}\right\}$ 的变化趋势，写出它们的极限： （1）$\left\{\frac{1}{2^{n}}\right\}$ ； （2）$\left\{(-1)^{n} \frac{1}{n}\right\}$ ； （3）$\left\{2+\frac{1}{n^{2}}\right\}$ ； （4）$\left\{\frac{n-1}{n+1}\right\}$ ； （5）$\left\{n(-1)^{n}\right\}$ ； （6）$\left\{\frac{2^{n}-1}{3^{n}}\right\}$ ； （7）$\left\{n-\frac{1}{n}\right\}$ ； （8）$\left\{\left[(-1)^{n}+1\right] \frac{n+1}{n}\right\}$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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**习题1-2 解答**
**(1)** $\left\{\frac{1}{2^{n}}\right\}$ 当 $n$ 增大时，$2^n$ 趋于无穷大，因此 $\frac{1}{2^n}$ 趋于 0。数列收敛，极限为 0。 $$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2^n}=0$$
**(2)** $\left\{(-1)^{n} \frac{1}{n}\right\}$ 当 $n$ 增大时，$\frac{1}{n}\to 0$，乘以有界量 $(-1)^n$ 后仍趋于 0。数列收敛，极限为 0。 $$\lim_{n\to\infty}(-1)^n\frac{1}{n}=0$$
**(3)** $\left\{2+\frac{1}{n^{2}}\right\}$ 当 $n$ 增大时，$\frac{1}{n^2}\to 0$，因此 $2+\frac{1}{n^2}\to 2$。数列收敛，极限为 2。 $$\lim_{n\to\infty}\left(2+\frac{1}{n^2}\right)=2$$
**(4)** $\left\{\frac{n-1}{n+1}\right\}$ 化简：$\frac{n-1}{n+1}=1-\frac{2}{n+1}$，当 $n\to\infty$ 时，$\frac{2}{n+1}\to 0$，故极限为 1。数列收敛。 $$\lim_{n\to\infty}\frac{n-1}{n+1}=1$$
**(5)** $\left\{n(-1)^{n}\right\}$ 当 $n$ 为偶数时，$n(-1)^n=n\to\infty$；当 $n$ 为奇数时，$n(-1)^n=-n\to -\infty$。数列不趋于一个确定的数，故发散。
**(6)** $\left\{\frac{2^{n}-1}{3^{n}}\right\}$ $$\frac{2^n-1}{3^n}=\left(\frac{2}{3}\right)^n-\frac{1}{3^n}$$ 由于 $\frac{2}{3}<1$，$\left(\frac{2}{3}\right)^n\to 0$，且 $\frac{1}{3^n}\to 0$，故数列收敛，极限为 0。 $$\lim_{n\to\infty}\frac{2^n-1}{3^n}=0$$
**(7)** $\left\{n-\frac{1}{n}\right\}$ 当 $n\to\infty$ 时，$n\to\infty$，$\frac{1}{n}\to 0$，因此 $n-\frac{1}{n}\to\infty$，数列发散。
**(8)** $\left\{\left[(-1)^{n}+1\right] \frac{n+1}{n}\right\}$ 当 $n$ 为奇数时，$(-1)^n+1=0$，该项为 0； 当 $n$ 为偶数时，$(-1)^n+1=2$，该项为 $2\cdot\frac{n+1}{n}=2\left(1+\frac{1}{n}\right)\to 2$。 因此数列的子列分别趋于 0 和 2，不趋于同一极限，故发散。
**总结** 收敛数列：(1)、(2)、(3)、(4)、(6)； 发散数列：(5)、(7)、(8)。